Démontrer une conjecture

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howdreii
Publié le 30 nov. 2010 il y a 3A Fin › 3 déc. 2010 3A
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SUJET DU DEVOIR

Soit U une suite vérifiant la relation de récurrence:
Un+1= (Un +1 le 1 ne fait pas parti de Un) divisé par (Un -1 idem le -1 est séparé de Un)

1) Calculer les cinq premiers termes de la suite en prenant U0=0, puis en prenant U0=10
Quelle semble être la particularité de cette suite ?
2) Démontrer la conjecture précédente.
3) Peut on choisir U0 de sorte que la suite U soit stationnaire?

REMARQUE: La suite (Un) est périodique de période 2; plus généralement, si p est un entier naturel, on dit que la suite U est périodique de période p lorsque, pour tout entier naturel n , Un+p= Un.

OÙ J'EN SUIS DANS MON DEVOIR

1)J'ai d'abord calculé les premiers termes comme demandé et pour Uo=0 je trouve pour les Un impaires -1 et pour les Un paires 0 .Puis pour Uo=10 je trouve pour les impaires 11/9 et pour les paires 10 et ceci pour tous les termes .

2) j'ai écrit Un+p= Un et j'ai remplacé pour les impaires les Un par 5 et pour les p par 2 j'ai ensuite trouvé le même résultat pour U7 et U5 soit -1.
J'ai fait la même chose pour les termes paires j'ai remplacé Un par U4 et je trouve que U6=U4 soit 0
Ainsi j'ai prouvé que Un+p= Un
je ne sais pas si cette démonstration est suffisante.

3) Par contre pour cette question je ne sais pas comment m'y prendre et que faire ...

3 commentaires pour le devoir Démontrer une conjecture

yetimou
yetimou
3A
La question 1 est bonne
J'ai trouvé comme toi.

2° Tu ne fais pas
une démonstration :

Il faut montrer que Un+2 =Un

Un+2= (Un+1 + 1)/(Un+1 -1)
remplace Un+1 par : (Un + 1)/(Un - 1)
tu vas voir que tout se simplifie
pour arriver à Un+2=Un

Ainsi (Un) est une suite de période 2
3)
La suite (Un) est stationnaire ssi
Un+1=Un donc
résous :
Un=(Un - 1)/(Un + 1)
Polynôme du second degré
Un= 1+V2 ou Un=1-V2

Si tu prends U0 = 1+RAC(2)
ou U0=1-RAC(2)
la suite sera stationnaire

Courage....


howdreii
howdreii
3A
Pour la question 2 le résultat que je dois obtenir est ((Un+1)/ (Un-1)+1) divisé par ((Un+1/Un-1)-1) ? Dois je simplifier le résultat et si oui comment? Mais je ne comprends pas en quoi le faite de faire ainsi réponds à la question ... :/

yetimou
yetimou
3A
Je vais te donner la correction du 2 :Un+2=(Un+1 + 1) / (Un+1 - 1)
Un+2=[((Un + 1)/(Un - 1)) +1 ]/[((Un + 1) /(Un -1)) - 1]

EN METTANT au même dénominateur : Un-1
Un+2=[(Un + 1+Un - 1)/(Un - 1)]/[(Un + 1 -Un + 1)/(Un - 1)]
Un+2 = (2Un)/2
Un+2=Un

Bon courage !!!


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