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Sujet du devoir
Soit P(x)=x^4+x^3-2x^2+x+1
On rappelle qu'une racine a(alpha) d'un polynôme est une valeur qui annule ce polynôme (P(a)=0)
1)a) Soit a une racine de P, si elle existe . Montrer que a différent de 0 .
b) Démontrer qu'un réel a est une racine de P si, et seulement si a est solution de l'équation (E):a^2+a-2+(1/a)+[1/(a^2)]=0
2)a) on pose u=a+(1/a) , Calculer u^2
b) Montrer que a est solution de (E) si, et seulement si u est solution d'une équation du second degré
c) En admettant que u^2+u-4=0 , déterminer u puis les racines de P .
3) Appliquer une méthode analogue pour l'équation -x^4+3x^3+4x^2+3x-1=0
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai déjà fait le 1)a) et le début du b) qui me semble faux, le 2)a) et c) :
1)a) Si a=0 alors P(a)=1 . Or, une racine est une valeur qui annule le polynôme . P(a) est différent de 0 donc a est différent de 0 .
b) Dans l'équation (E), a différent de 0 car on ne peut pas diviser par 0 . Donc a n'est ni une racine de P ni une solution de (E) .
2)a) u^2 = (a+1/a)^2 = a^2+2*(1/a)*a+(1/a)^2 = a^2+ (2a/a)+1/(a^2) = a^2+2+1/(a^2) .
c) Discriminant = 1^2-4*1*(-4) = 17>0
x1 = (-1-r(17))/2 x2 = (-1+r(17))/2
Merci d'avance pour votre aide
2 commentaires pour ce devoir
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Bonjour,
1a) ok
1b) Il faut démontrer que (E) = P(a) et conclure
Commencer par modifier (E) en mettant tout sur le même dénominateur.
2a) ok
2b) Il faut exprimez (E) en fonction de u, vous devez retrouver le second degré de la question 2c).
2c) ok
Maintenant vous avez les deux solutions u1 et u2, comme u=a+1/a, il faut trouver les solutions pour :
a+1/a = u1 => un second degré à résoudre
et
a=1/a=u2 => un autre
En fait un des deux second degré n’a pas de racine dans R (ensemble des réels).
Vous allez trouver donc deux racines a1 et a2 qui sont les deux seules racines réelles de P(x).
Si vous avez compris, vous devriez pouvoir appliquer pour la 3)
Toutes les solutions trouvées peuvent être vérifier graphiquement.