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Sujet du devoir
Exercice 1:
Dans un morceau de carton de 12 centimètres de côté, on découpe dans chaque coin des carrés de x centimètres de côté. En relevant les bords, on construit une boîte sans couvercle avec la feuille ainsi découpée.
(dessin en photo)
1/ Expliquer pourquoi les valeurs possibles de x appartiennent à l'intervalle ]0;6[.
2/ Exprimer le volume V(x) de la boîte en fonction de x.
3/a) Calculer la dérivée de V et déterminer le signe de cette dérivée.
b) Construire le tableau de variation de la fonction V.
c) Quel est le volume maximal de cette boîte?
Exercice 2:
Un conteneur parallélépipédique à base carrée a un volume de 8 m^3. On veut protéger les parois extérieures par un produit antirouille.
On note x la longueur de la base et y la hauteur, exprimée en mètres.
(dessin photo 2)
1/ Exprimer y en fonction de x.
2/ Exprimer l'aire totale A(x) des parois extérieures du conteneur en fonction de x.
3/a) Démontrer que, pour tout x, x^3-8=(x-2)(x²+2x+4).
b) En déduire le signe de (x^3-8).
4/a) Etudier le sens de variation de la fonction A sur ]0;OO[.
b) En déduire les dimensions du conteneur qui coûtera le moins cher en produit antirouille.
![20140116_193332[1]](http://d3lizf1yw938cm.cloudfront.net/illustrations/thumbnails/52e2b8ed7f360.jpeg)
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Images concernant mon devoir de Mathématiques
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai déjà fais dans l'exercice 1/ les questions 1 et 2
3/a)
V(x) = 4x³ - 48x² + 144x
V'(x) = 4*3*x² - 48*2x+144
V'(x) = 12x²-96x+144
Delta=b^2-4ac
Delta=96^2*12*144
Delta=9216-6912
Delta=2304
Delta=48²
Je me suis arrêter là
Merci beaucoup de m'aider, s'il vous plaît c'est pour lundi on a eu qu'une semaine pour le faire
47 commentaires pour ce devoir
Ah oui d'accord je viens de comprendre, je vous fais ça
Delta>0 donc l'équation admet 2 solutions :
x1=-b+Vdelta/2a et x2=-b-Vdelta/2a
x1=-(-96)+V2304/2*12 et x2=-(-96)-V2304/2*12
x1=144/24 et x2=48/24
x1=6 et x2=2
P(x)=a(x-x1)(x-x2)
d'où P(x)=12(x-6)(x-2)
Maintenant je fais P(x)>0?
Pourquoi P(x) ?
C’est V’(x).
V’(x) = 12x²-96x+144 = 12(x-6)(x-2)
Commencez le tableau de variation :
.…..x : 0 ……..2………6
.(x-2) : indiquez le signe
.(x-6) : indiquez le signe
V’(x) : faites le produit des signes
V(x) : indiquez croissant ou décroissants
N’oubliez pas de calculer les valeurs remarquables de V(x) : 0 , 2 et 6
Ah oui c'est vrai V'(x), c'est parce que j'ai regarder dans mon cours et j'ai recopier
Tableau de signe
x| 0 2 6
signe de (x-2)| - barre 0 en dessous de 2 +
signe de (x-6) là il n'y a pas de barre ?
Le début est bon?
.…..x : 0 ……..2………6
.(x-2) : …..- … 0 …+ …
.(x-6) : …..-……….-…..0
.…..x : 0 ……..2………6
.(x-2) : …..- … 0 …+ …
.(x-6) : …..-……….-…..0
(x-2)(x-6) : ...+..0..-..0
Tableau de variation
Variation de V.. flèche croissante, flèche décroissante
Pour les images je trouve 0, 128 et 0 mais ça doit être faux
Pourquoi dites vous que « ça doit être faux » ?
Les valeurs sont celles-ci.
La question d est « Quel est le volume maximal de cette boîte? ».
Pouvez vous répondre en justifiant ?
Ah ok :)
Le volume maximal est de 128 cm cube?
oui mais pourquoi?
il faut justifier.
J'ai pas justifier tout de suite pour voir si c'est bon
Le volume maximal est de 128cm cube parce que c'est la plus grande valeur dans les images...? Je sais pas trop
Je livre la phrase ; c’est un type de phrase à retenir
V(x) est strictement croissante entre 0 et 2 puis décroissante entre 2 et 6, donc le volume est maximum quant x=2cm et est égale à 128cm³.
D'accord merci je ne savais pas
Exercice 2:
1/ Exprimer y en fonction de x
D'un volume on peut retrouver les côtés?
oui on peut retrouver les cotes en voulant trouver l'aire minimale
les deux exrcices sont assez proches.
le volume est 8m³ , quelle est la formule du volume en fonction de y et x?
puis modifiez cette formule pour trouver y en fonction de 8 et x.
8 = x²y
y = 8/x²
Oui, on mets la formule de coté
Maintenant question 2) : l'aire
Il y a six faces, que valent ces aires en fonction de y et x.
Exprimez l'aire en fonction de y et x.
A(x)=2x²+4xy
= 2x²+4x(8/x²)
= 2x² + 32/x
= 2x^3+32/x
= 2(x^3+16)/x
Attention quant on a x/x² , on peut simplifier par x si et seullement x est different de 0.
Ici c'est le cas sinon le conteneur n'aurait pas d'existence.
C'etait juste une remarque mais à retenir , sinon on peut arriver à prouver que 1=2.
Calculez maintenant la derivé de A(x).
D'accord
Donc mon calcul est bon?
Pour la dérivée on utilise la formule (u/v)'=u'v-uv'/v² ?
S'il y a un calcul erroné, je le signalerai. Si je ne fais pas de remarque, il n'y a pas d'erreur.
oui on utilise cette formule de dérivé
Ok
A(x)=2(x^3+16)/x
A'(x)=(3x²)x-2(x^3+16)*1/x²
A'(x)=3x^3-2x^3-32/x²
A'(x)=x^3-32/x²
Il manque un « 2 » dans le résultat.
A(x) = 2(x³+16)/x = (2x³+32)/x
On utilise (u’v-uv’)/v²
u(x)= 2x³+32 et v(x)=x
donc u’ = 6x² et v’=1
A’(x) = [6x²*x-(2x³+32)*1]/x²
A’(x) =(6x³-2x³-32)/x²
A’(x) = (4x³-32)/x² = 4(x³-8)/x²
3a)
Pour démontrer x^3-8=(x-2)(x²+2x+4), développer et simplifiez (x-2)(x²+2x+4)
3b)
Il faut faire le même tableau que pour l’autre exercice.
Oui j'ai rectifier
(x-2)(x²+2x+4)
x*x²+x*2x+x*4-2*x²-2*2x-2*4
x^3+2x²+4x-2x²-4x-8
x^3-8
je met quel valeur dans x pour le tableau?
Clairement, si vous avez besoin de mettre les parenthèses, mettez les parenthèses.
Il n'y a pas une bonne façon de faire et une mauvaise ; il y a juste celle que vous arrivez à faire.
Voici toutes les étapes que je vous propose :
(x-2)(x²+2x+4) = x (x²+2x+4) – 2 (x²+2x+4)
= x*x²+x*2x+x*4– 2x²– 2*2x– 2*4
=x³+2x²+4x–2x²–4x–8 =x³-8
On peut faire d’autres façons.
Au fil du temps, vous arriverez au final en sautant des étapes.
Un prof ne pénalisera pas si sur un brouillon il y a toutes les étapes.
Merci pour cette réponse claire
Et dans le tableau de signe je met quoi comme valeur pour x?
Dans le tableau il doit y avoir les valeurs remarquables :
1) les bornes d’études (quant elles existent) : ici x est compris entre quelle et quelle valeur.
« x » est positif et différent de 0 puisque « x » est une distance.
La valeur maximum de « x » n’a pas de limite donc c’est + l’infini +oo
Donc 0 < x < +oo
2) les valeurs de « x » pour lesquelles la dérivé est égal à 0.
Pour quelle valeur de « x », A’(x)=0 = x³-8=(x-2)(x²+2x+4) ?
Vous devez trouver soit une seule valeur, soit trois valeurs.
Je dois m’absenter une paires d’heures.
Essayez de poster vos calculs même si vous n’êtes pas sûr.
L’exercice 1 doit vous inspirer, les deux exercices sont similaires.
Dés que je reviens, je ferais les remarques utiles.
D'accord j'essaie de faire ça à tout à l'heure
Dans A' on sait que x² et 4 sont positifs donc on garde (x^3-8) qui est égal à (x-2)(x²+2x+4) donc (x-2)(x+2)²
......x : 0......2.....+OO
(x-2) : ...-...0...+.......
(x+2): ...+..|....+......
(x-2)(x+2) : - 0 +
Variation de A : flèche décroissante, flèche croissante L'image est 24
De retour,
Si je comprends bien , selon vous (x+2)² = x²+2x+4.
Reprenons l’identité remarquable : (a+b)²=a²+2ab+b²
a=x et b=2 donc x²+2*x*2+2² = x²+4x+4
une astuce : si vous avez une calculatrice graphique, tracer x³-8 puis tracer (x-2)(x+2)². Vous verrez les courbes ne se confondent pas donc les deux expressions ne sont pas égale.
Pour continuer il faut factoriser x²+2x+4 en calculant le delta et les racines .
ici delta = -12 < 0 donc il n’existe pas de racines dans l’ensemble des réels.
Apres vous avez bien vu quelque chose : x² et 4 sont positifs.
Il fallait continuer
Le domaine d’étude est ]0 ; +oo[, donc x>0 donc 2x>0.
Donc pour x compris entre 0 et +oo, x²+2x+4 est positif
Le tableau est juste.
Maintenant il reste à conclure en faisant une phrase.
Le minimum de l’aire est 24m² pour x= ??? et y= ???
C’est la réponse à la dernière question.
Delta=b²-4ac
Delta=2²-4*1*4
Delta=4-16
Delta=-12
Delta<0 l'équation n'a aucune solution
oui pour le delta
l'aire minimale est bien 24m²
Et pour x et y quel sont alors leurs valeurs
Je voudrais juste savoir, j'écris quoi avant de faire le tableau de signe parce que avec le 2 on ne sait pas de où il sort
A’(x) = x³-8 = (x-2)(x²+2x+4)
Une fois calculé la dérivé d’une fonction, il faut trouver la ou les valeurs pour lesquelles cette dérivé s’annule.
A’(x) est un produit de deux fonctions de x : (x-2) et (x²+2x+4)
Donc pour que A’(x) = 0, il faut que :
soit (x²+2x+4)=0 , ça comme il n’y a pas de solution dans l’ensemble des Réels, il n’y a pas de valeurs à mettre
soit (x-2)=0 , ici la solution est « 2 ».
c’est de ce calcul que vient le « 2 » qui est dans le tableau sur la ligne de « x ».
Ai-je répondu à la question ?
Oui merci pour vos réponses aussi détaillées
Par contre pour la dernière question je ne vois pas ce qu'il faut faire, il y a un rapport avec le tableau de variation?
La question 4a) etait le tableau de variation de A(x)
La question 4b) est : « b) En déduire les dimensions du conteneur qui coûtera le moins cher en produit antirouille »
x et y sont les dimensions du conteneur.
Il faut toujours repondre aux questions ;-)
A(x)=24 quant x=2
Donc la base carré du conteneur est de dimension égale à 2 mètres.
Que vaut y ? la hauteur du conteneur.
Si x vaut 2 et comme on sait que le total fait 24 on fait 24-2=22 y vaut 22?
Non
l'aire ne se calcule pas par x+y.
Pour trouver "y", il faut utiliser la formule du debut de l'exercice
Quelle est la relation qui existe entre x et y?
Je ne vois pas je remplace le x dans 8/x² mais rien n'est bon
pourquoi rien n'est pas bon?
y=8/x² = 8/2² = 2
pourquoi y=2 n'est pas bon?
Ah j'ai fais ce calcul mais j'ai cru que ce n'étais pas le bon résultat
Donc en phrase je marque les dimensions du conteneur qui coûtera le moins cher en produit antirouille est de x=2 et y=2?
oui pour la phrase en ajoutant les unites de x et y : le metre.
D'accord
Je vous remercie beaucoup pour ces explications et réponses rapides et claires :-)
Je vous souhaite une bonne soirée
Bonne soirée
Ils ont besoin d'aide !
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Bonsoir,
Ex1
3a)
La dérivé est bonne
12x²-96x+144.
Pour étudier son signe il faut la factoriser.
De 12x²-96x+144 on doit arriver à (x-a)(x-b) où a et b sont les racines de 12x²-96x+144
Vous avez trouvé le delta de l’équation .
Maintenant calculez les deux racines.
Déterminez le signe de x-a
Puis celui de x-b
Dans un tableau enfin celui de (x-a)(x-b).
Tenir au courant
Je ne vois pas comment on met l'expression à la forme factoriser
Vous avez calculé le delta , calculez les racines.