Exercice sur les limites

Publié le 22 mai 2015 il y a 8A par Anonyme - Fin › 5 oct. 2016 dans 7A
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Sujet du devoir

Bonjour, je ne comprends pas un exercice sur les limites.

Voici les énoncés :

- Indiquer toutes les limites "visibles" à partir de ce graphe

http://hpics.li/9727280

- Ecrire l'équation d'une fonction f(x) vérifiant les limites énoncés en a. Justifie.

Où j'en suis dans mon devoir

Pour le 1er exercice j'ai les réponses, on l'a fait en classe ça va :

1) lim f(x) = - infini

x -> + infini

2) lim f(x) = + infini

x-> -1

3) lim f(x) = + infini

x -> 1

4) lim f(x) =+ infini

x-> - infini

5) lim f(x) = - infini

x -> 1

6) lim f(x) = -infini

x -> -1

 

mais le deuxième exo : écrire l'équation, je ne comprends pas comment trouver. Merci de votre aide




Fiche de Révision

Le but des limites est de définir les notions de continuité et de dérivabilité. 

 

La notion de limites peut paraitre relativement abstraite. Il existe une différence entre une limite en un point réel fini pour une fonction numérique et une limite en + infini ou - infini pour une fonction numérique ou une suite. 

Cependant, ces deux cas présentant des différences ont un point commun qui est la topologie de voisinage.


59 commentaires pour ce devoir


Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

Bonjour,

Normalement les numéros doivent correspondre entre le graphique et vos réponses ?

il y a deux limites qui sont inversées.

Anonyme
Posté le 22 mai 2015

Oui. Non rien est inversé, j'ai vérifié ...

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Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

La 1 et la 4 sont inversées .

pour la 1 , x -> - oo  et f(x) -> + oo

pour la 4 , x-> + oo et f((x) -> -oo

Estes vous d'accord?

Anonyme
Posté le 22 mai 2015

oui ok :) et l'autre exerccie, je fais comment ?

NATHALIE#9310
NATHALIE#9310
Posté le 22 mai 2015

2) lim f(x) = + infini

x-> -1 il faut préciser c'est quand x<-1

NATHALIE#9310
NATHALIE#9310
Posté le 22 mai 2015

5) lim f(x) = - infini

x -> 1 il faut préciser quand x<1

Anonyme
Posté le 22 mai 2015

ok :) et l'autre exercice, je fais comment ?

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

Ensuite, pour les limites en -1 et 1, pensez à préciser par quel coté la limite est ?
Il y a deux limites en 1: en s’approchant par les valeurs inferieures à 1 et la limite par les valeurs supérieures à 1.

Vu qu’il y a des limites pour des valeurs finis à quoi cela correspond dans une equation?

Anonyme
Posté le 22 mai 2015

oui pour le 2)  x<-1

le 3) x > 1

5) x < 1

6) x > -1

des limites pour des valeurs finis à quoi cela correspond dans une equation? Je ne sais pas :/

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

regardez la courbe de f(x)= 1 / (x+2) en la traçant à la calculatrice.

il y a une limite pour x-> -2 .

Que cela vous inspire t il ?

Anonyme
Posté le 22 mai 2015

d'où sort le 1/ (x+2) ?

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

C'est juste un exemple, pour vous faire comprendre comment trouver une partie de l’équation cherchée

Anonyme
Posté le 22 mai 2015

Je ne sais pas écrire ça dans ma calculatrice

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

pas graphique la calculatrice?

ou avec un logiciel de traçage de courbe.

ou la traçant sur une feuille

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

J'ai tracé pour vous f(x) = 1/(x+2)

http://hpics.li/2ee80af

Que cela vous inspire t il ?

 

Anonyme
Posté le 22 mai 2015

euh je ne sais pas, rien du tout :(

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

Pour f(x)=1/(x+2) , la valeur (-2) est une valeur interdite.
Pour une valeur interdite, il y a deux limites de f(x) autour de cette valeur.

 

Anonyme
Posté le 22 mai 2015

-1 ?

Anonyme
Posté le 22 mai 2015

1/(x-1)*(x+1)

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

Dans l’exercice, il y a deux valeurs interdites donc dans f(x) doit être formé avec le produit de deux expressions qui s’annulent pour ces valeurs interdites et ce produit est au dénominateur.
Ecrivez une fonction qui répond à cela.

Cela sera une partie de la focntion cherchée

Anonyme
Posté le 22 mai 2015

et je fais comment ? y'a pas une astuce ?

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

dans l'exercice, quelles sont les valeurs interdites?

Anonyme
Posté le 22 mai 2015

-1 ?

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

oui  -1 en est une.

Quelle expression à une valeur interdite = -1?

Quelle est l'autre valeur interdites?

 

Anonyme
Posté le 22 mai 2015

euh... 1? je sais pas :/

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

oui 1 est bien l'autre valeur.

Savez vous ce qu'est une valeur interdite ? L'ensemble de définition d'une fonction.

Anonyme
Posté le 22 mai 2015

ok puis on fait comment ?

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

D’après le graphique, on peut dire que f(x) a pour ensemble de définition : R – {-1 ; 1} (l’ensemble des réels sauf les valeurs -1 et 1)
Avec cet ensemble de définition il faut écrire une expression.

Si je reprends 1/(x+2), l’ensemble de définition est R – {-2}.
Comprenez-vous ?

Anonyme
Posté le 22 mai 2015

pourquoi l’ensemble de définition est R – {-2 ] ? Car -2 + 2 = 0 ?

alors pourquoi pour mon graphique on prend pas le contraire aussi ?

et je trouve comment l'expression ?

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

En s’inspirant de 1/(x+2) et R – {-2},

Quelles est l’expression qui a pour ensemble de définition R – {-1} ?

Et quelles est l’expression qui a pour ensemble de définition R – {1} ?

Anonyme
Posté le 22 mai 2015

1/(x-1)*(x+1)

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

oui, 1/((x+1)(x-1)) est bien une partie de la fonction cherchée.

Tracez cette fonction pour vous rendre compte.

voici un site qui permet de tracer des courbes :

http://grapheur.cours-de-math.eu/

 

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

Il manque encore un morceau.

Sur le graphique, il y a une droite entre la limite (1) et (4).

La droite va aider à trouver le reste de l'équation.
Quelle est son équation ?
Elle passe par (0 ; 0) et par (1 ; -1).

Anonyme
Posté le 22 mai 2015

C'est l'asymptote obliqe ... son équation je ne sais pas :(

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 22 mai 2015

oui, pour l'asymptote.

une droite et deux points (0;0) et (1;-1) 

L’équation d'une droite a pour forme générale : y= a*x+b

utilisez les deux points pour trouver les valeurs de a et b en remplaçant x et y par les valeurs des points .

vous aurez alors deux equations à deux inconnues . un systeme qu'il faut resoudre.

 

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 23 mai 2015

En trouvant 1/ ((x+1) (x-1)), les limites 2, 3, 5 et 6 sont représentées.

Il manque les limites 1 et 4.
Pour trouver ces limites, on remarque que pour x-> -oo et +oo , la courbe tend vers l’asymptote (c’est la définition). Il faut trouver l’équation de cette asymptote ; je la nomme A(x).

En trouvant A(x), vous aurez f(x) :
f(x) = A(x) + 1/((x+1)(x-1))

Refaites les limites pour vérifier.

Tenir au courant

 

Anonyme
Posté le 23 mai 2015

Bonjour ! Oui d'accord, mais je ne sais pas comment trouver le A(x) justement...

Et pour la limite 1) c'est lim f(x) = + infini et x - > - infini c'est ça hein ?

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 23 mai 2015

oui c'est bien la limite 1)

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 23 mai 2015

Pour A(x) :

Il faut déterminer l’équation d’une droite avec deux points.
Je vous ai proposé ceci :
Une droite et deux points (0;0) et (1;-1)
L’équation d'une droite a pour forme générale : y= a*x+b
Utilisez les deux points pour trouver les valeurs de a et b en remplaçant x et y par les valeurs des points.
Vous aurez alors deux équations à deux inconnues. Un système qu'il faut résoudre.

Les points (0 ; 0) et (1 ; -1) sont des points de l’asymptote.

Quelles sont les deux équations trouvées ?

Anonyme
Posté le 23 mai 2015

Pourquoi (1;-1) est un point de lasympote? L'asympote passe par (0;0) ...

Anonyme
Posté le 23 mai 2015

Je remplace comment ? (0;0) = a (1;-1) + b ?

Ca n'a pas de sens

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 23 mai 2015

L’asymptote est une droite, il faut deux points pour determiner son équation:
J’ai pris le point (0 ;0) (c’est le point que je préfère) qui est dessus.
Après il faut prendre un autre ; peut importe lequel.
J’ai pris (1 ;-1) en lisant sur la graphique : pour x=1 => y= -1 (à peu prés).

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 23 mai 2015

Le point (0 ;0) signifie que x=0 et f(x)= y =0.
Donc dans y = a * x + b
On remplace x et y par leur valeur : 0 = a * 0 + b.
Faites la même chose avec l’autre point.
Quelle est la deuxième équation ?

Anonyme
Posté le 23 mai 2015

Donc (1;-1) c'est les deux droites verticales ?

___

dans y = a * x + b

1 = a * (-1) + b ?

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 23 mai 2015

Non, vous confondez, les droites verticales (les limites finies) et le point (1 ;-1) qui est sur l’asymptote.
Pour deuxième point, on aurait pu prendre : (3 ;-3) ou (-2 ; 2) etc … tous ces points sont sur l’asymptote
Comprenez-vous ?

Non le point (1 ;-1) signifie que x=1 et y = -1
Donc dans y = a * x +b => -1 = a * 1 + b

Les deux équations sont donc :
0 = a * 0 + b
Et
-1 = a * 1 + b

Avec la première, on a la valeur de b. avec cette valeur de b, remplacez la dans la deuxième expression pour trouver la valeur de « a ».
Quelle est l’expression de l’asymptote ?

Anonyme
Posté le 23 mai 2015

alors ça veut dire que il n'y a pas que une solution pour l'équation? si je choissais (-2;-2) j'aurais une eu une réponse différente mais bonne aussi?

pourquoi avec la première je dois remplacer la valeur dans la deuxième et pas le contraire ?

 

sinon ça fait -1 = a * 1 + 0 ?

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 23 mai 2015

Il n’y a qu’une seule équation pour l’asymptote.
Mais il y a autant des expressions qu’il y a de points pour déterminer l’équation de l’asymptote.

Si je prends le point (-2 ; 2) alors la deuxième expression serait : 2 = -2 * a + b
Comme b=0 , 2 = -2 * a + b => 2 = -2 * a + 0 => 2 = -2 * a => a = 2 / (-2) = -1
Pareil avec le point ( 3 ; -3) , une autre equation mais on trouve toujours a = -1.

-1 = a * 1 + 0 => a = - 1

Donc l’asymptote a pour équation y = a * x + b => y = - 1 * x + 0 => y = - x

Que donne f(x) ?

Anonyme
Posté le 23 mai 2015

 

Pourquoi c'est égal à - x ? moi je trouve

1 = a * 1 + b

-1 = a * 1 + 0 ?

- 1 = 1 * a

a = -1 / 1 = - 1

Anonyme
Posté le 23 mai 2015

f(x) = .... + 1 / (x-1)*(x+1)

Dans les pointillés du coup je dois mettre quoi?

Et une question; le (x-1)(x+1) ce sont les droites verticales sur le graphe ?

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 23 mai 2015

Oui ,
a = -1 et b = 0 ,

Donc dans y = a * x + b , l’équation générale de l’asymptote , il est possible de remplacez « a » et « b » par leurs valeurs.
A(x) = y = (-1) * x + 0
Et en simplifiant , A(x) = y = - x

 

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 23 mai 2015

Dans les pointillés , regarde plus haut j’écris que c’était A(x) ( l’équation de l’asymptote).

1 / (x-1)(x+1) est ce qui provoque les limites finies 2) , 3) 5) et 6)
Les droites verticales ne font pas partie de f(x).
Au même titre que la droite oblique (l’asymptote), ces trois droites ne sont là que pour guider vers la solution.

Anonyme
Posté le 23 mai 2015

Ok donc f(x) = -x + 1 / (x-1)(x+1)

J'ai compris je pense.. mais j'ai peur de ne pas savoir retrouver les valeur interdites au tout début et donc me tromper

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 23 mai 2015

Avec le site que je vous mis plus haut , tracer f(x) trouvée pour vous rendre compte que la courbe ressemble à celle du graphique de l’exercice.

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 23 mai 2015

Sinon
Pourquoi avec la première je dois remplacer la valeur dans la deuxième et pas le contraire ?

Parce qu’il est plus facile de faire dans ce sens là (pour cet exercice).
On peut le faire dans l’autre sens ; cela donnera le même résultat.

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 23 mai 2015

Les valeurs interdites :
Quant il y a une limite finie c'est-à-dire une limite pour un « x » proche d’une valeur donnée ; cela signifie qu’il y a une valeur interdite.

Pour la limite quant x -> 1, cela signifie que pour x=1 on n’arrive pas à calculer f(x).
A votre niveau, cela signifie qu’un dénominateur s’annule. Le dénominateur (pour une seule valeur interdite) est de la forme x+a.
Pour x=1 on a x+a = 0 => 1 + a = 0 => a = - 1
Donc pour la première valeur de limite (x->1) le dénominateur est (x – 1)

Si on fait pareil , avec la limite x-> - 1 , on trouve (x+1)

Donc le dénominateur est (x+1)(x – 1) .
Est-ce plus clair ?

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 23 mai 2015

N'hésitez pas à le dire s'il y a encore une peur , un blocage.

Anonyme
Posté le 24 mai 2015

merci :)

en faite les valeurs interdite sont les x -> ... du premier exercice ?

 

Anonyme
Posté le 24 mai 2015

donc les lignes verticales sur le graphe ne me servent à rien? je dois pas les regarder ?

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 24 mai 2015

oui les valeurs interdites sont les limites finies.

quant x-> + ou - infini , ce n'est pas une valeur interdite.

 

Les lignes verticales ne sont là que pour indiquer qu'il y a une limite pour cette valeur ; je vais dire qu'elles sont des asymptotes verticales.


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