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Sujet du devoir
Bonjour, je ne comprends pas un exercice sur les limites.
Voici les énoncés :
- Indiquer toutes les limites "visibles" à partir de ce graphe
- Ecrire l'équation d'une fonction f(x) vérifiant les limites énoncés en a. Justifie.
Où j'en suis dans mon devoir
Pour le 1er exercice j'ai les réponses, on l'a fait en classe ça va :
1) lim f(x) = - infini
x -> + infini
2) lim f(x) = + infini
x-> -1
3) lim f(x) = + infini
x -> 1
4) lim f(x) =+ infini
x-> - infini
5) lim f(x) = - infini
x -> 1
6) lim f(x) = -infini
x -> -1
mais le deuxième exo : écrire l'équation, je ne comprends pas comment trouver. Merci de votre aide
Fiche de Révision
Le but des limites est de définir les notions de continuité et de dérivabilité.
La notion de limites peut paraitre relativement abstraite. Il existe une différence entre une limite en un point réel fini pour une fonction numérique et une limite en + infini ou - infini pour une fonction numérique ou une suite.
Cependant, ces deux cas présentant des différences ont un point commun qui est la topologie de voisinage.
59 commentaires pour ce devoir
La 1 et la 4 sont inversées .
pour la 1 , x -> - oo et f(x) -> + oo
pour la 4 , x-> + oo et f((x) -> -oo
Estes vous d'accord?
oui ok :) et l'autre exerccie, je fais comment ?
2) lim f(x) = + infini
x-> -1 il faut préciser c'est quand x<-1
5) lim f(x) = - infini
x -> 1 il faut préciser quand x<1
ok :) et l'autre exercice, je fais comment ?
Ensuite, pour les limites en -1 et 1, pensez à préciser par quel coté la limite est ?
Il y a deux limites en 1: en s’approchant par les valeurs inferieures à 1 et la limite par les valeurs supérieures à 1.
Vu qu’il y a des limites pour des valeurs finis à quoi cela correspond dans une equation?
oui pour le 2) x<-1
le 3) x > 1
5) x < 1
6) x > -1
des limites pour des valeurs finis à quoi cela correspond dans une equation? Je ne sais pas :/
regardez la courbe de f(x)= 1 / (x+2) en la traçant à la calculatrice.
il y a une limite pour x-> -2 .
Que cela vous inspire t il ?
d'où sort le 1/ (x+2) ?
C'est juste un exemple, pour vous faire comprendre comment trouver une partie de l’équation cherchée
Je ne sais pas écrire ça dans ma calculatrice
pas graphique la calculatrice?
ou avec un logiciel de traçage de courbe.
ou la traçant sur une feuille
euh je ne sais pas, rien du tout :(
Pour f(x)=1/(x+2) , la valeur (-2) est une valeur interdite.
Pour une valeur interdite, il y a deux limites de f(x) autour de cette valeur.
-1 ?
1/(x-1)*(x+1)
Dans l’exercice, il y a deux valeurs interdites donc dans f(x) doit être formé avec le produit de deux expressions qui s’annulent pour ces valeurs interdites et ce produit est au dénominateur.
Ecrivez une fonction qui répond à cela.
Cela sera une partie de la focntion cherchée
et je fais comment ? y'a pas une astuce ?
dans l'exercice, quelles sont les valeurs interdites?
-1 ?
oui -1 en est une.
Quelle expression à une valeur interdite = -1?
Quelle est l'autre valeur interdites?
euh... 1? je sais pas :/
oui 1 est bien l'autre valeur.
Savez vous ce qu'est une valeur interdite ? L'ensemble de définition d'une fonction.
ok puis on fait comment ?
D’après le graphique, on peut dire que f(x) a pour ensemble de définition : R – {-1 ; 1} (l’ensemble des réels sauf les valeurs -1 et 1)
Avec cet ensemble de définition il faut écrire une expression.
Si je reprends 1/(x+2), l’ensemble de définition est R – {-2}.
Comprenez-vous ?
pourquoi l’ensemble de définition est R – {-2 ] ? Car -2 + 2 = 0 ?
alors pourquoi pour mon graphique on prend pas le contraire aussi ?
et je trouve comment l'expression ?
En s’inspirant de 1/(x+2) et R – {-2},
Quelles est l’expression qui a pour ensemble de définition R – {-1} ?
Et quelles est l’expression qui a pour ensemble de définition R – {1} ?
1/(x-1)*(x+1)
oui, 1/((x+1)(x-1)) est bien une partie de la fonction cherchée.
Tracez cette fonction pour vous rendre compte.
voici un site qui permet de tracer des courbes :
http://grapheur.cours-de-math.eu/
Il manque encore un morceau.
Sur le graphique, il y a une droite entre la limite (1) et (4).
La droite va aider à trouver le reste de l'équation.
Quelle est son équation ?
Elle passe par (0 ; 0) et par (1 ; -1).
C'est l'asymptote obliqe ... son équation je ne sais pas :(
oui, pour l'asymptote.
une droite et deux points (0;0) et (1;-1)
L’équation d'une droite a pour forme générale : y= a*x+b
utilisez les deux points pour trouver les valeurs de a et b en remplaçant x et y par les valeurs des points .
vous aurez alors deux equations à deux inconnues . un systeme qu'il faut resoudre.
En trouvant 1/ ((x+1) (x-1)), les limites 2, 3, 5 et 6 sont représentées.
Il manque les limites 1 et 4.
Pour trouver ces limites, on remarque que pour x-> -oo et +oo , la courbe tend vers l’asymptote (c’est la définition). Il faut trouver l’équation de cette asymptote ; je la nomme A(x).
En trouvant A(x), vous aurez f(x) :
f(x) = A(x) + 1/((x+1)(x-1))
Refaites les limites pour vérifier.
Tenir au courant
Bonjour ! Oui d'accord, mais je ne sais pas comment trouver le A(x) justement...
Et pour la limite 1) c'est lim f(x) = + infini et x - > - infini c'est ça hein ?
oui c'est bien la limite 1)
Pour A(x) :
Il faut déterminer l’équation d’une droite avec deux points.
Je vous ai proposé ceci :
Une droite et deux points (0;0) et (1;-1)
L’équation d'une droite a pour forme générale : y= a*x+b
Utilisez les deux points pour trouver les valeurs de a et b en remplaçant x et y par les valeurs des points.
Vous aurez alors deux équations à deux inconnues. Un système qu'il faut résoudre.
Les points (0 ; 0) et (1 ; -1) sont des points de l’asymptote.
Quelles sont les deux équations trouvées ?
Pourquoi (1;-1) est un point de lasympote? L'asympote passe par (0;0) ...
Je remplace comment ? (0;0) = a (1;-1) + b ?
Ca n'a pas de sens
L’asymptote est une droite, il faut deux points pour determiner son équation:
J’ai pris le point (0 ;0) (c’est le point que je préfère) qui est dessus.
Après il faut prendre un autre ; peut importe lequel.
J’ai pris (1 ;-1) en lisant sur la graphique : pour x=1 => y= -1 (à peu prés).
Le point (0 ;0) signifie que x=0 et f(x)= y =0.
Donc dans y = a * x + b
On remplace x et y par leur valeur : 0 = a * 0 + b.
Faites la même chose avec l’autre point.
Quelle est la deuxième équation ?
Donc (1;-1) c'est les deux droites verticales ?
___
dans y = a * x + b
1 = a * (-1) + b ?
Non, vous confondez, les droites verticales (les limites finies) et le point (1 ;-1) qui est sur l’asymptote.
Pour deuxième point, on aurait pu prendre : (3 ;-3) ou (-2 ; 2) etc … tous ces points sont sur l’asymptote
Comprenez-vous ?
Non le point (1 ;-1) signifie que x=1 et y = -1
Donc dans y = a * x +b => -1 = a * 1 + b
Les deux équations sont donc :
0 = a * 0 + b
Et
-1 = a * 1 + b
Avec la première, on a la valeur de b. avec cette valeur de b, remplacez la dans la deuxième expression pour trouver la valeur de « a ».
Quelle est l’expression de l’asymptote ?
alors ça veut dire que il n'y a pas que une solution pour l'équation? si je choissais (-2;-2) j'aurais une eu une réponse différente mais bonne aussi?
pourquoi avec la première je dois remplacer la valeur dans la deuxième et pas le contraire ?
sinon ça fait -1 = a * 1 + 0 ?
Il n’y a qu’une seule équation pour l’asymptote.
Mais il y a autant des expressions qu’il y a de points pour déterminer l’équation de l’asymptote.
Si je prends le point (-2 ; 2) alors la deuxième expression serait : 2 = -2 * a + b
Comme b=0 , 2 = -2 * a + b => 2 = -2 * a + 0 => 2 = -2 * a => a = 2 / (-2) = -1
Pareil avec le point ( 3 ; -3) , une autre equation mais on trouve toujours a = -1.
-1 = a * 1 + 0 => a = - 1
Donc l’asymptote a pour équation y = a * x + b => y = - 1 * x + 0 => y = - x
Que donne f(x) ?
Pourquoi c'est égal à - x ? moi je trouve
1 = a * 1 + b
-1 = a * 1 + 0 ?
- 1 = 1 * a
a = -1 / 1 = - 1
f(x) = .... + 1 / (x-1)*(x+1)
Dans les pointillés du coup je dois mettre quoi?
Et une question; le (x-1)(x+1) ce sont les droites verticales sur le graphe ?
Oui ,
a = -1 et b = 0 ,
Donc dans y = a * x + b , l’équation générale de l’asymptote , il est possible de remplacez « a » et « b » par leurs valeurs.
A(x) = y = (-1) * x + 0
Et en simplifiant , A(x) = y = - x
Dans les pointillés , regarde plus haut j’écris que c’était A(x) ( l’équation de l’asymptote).
1 / (x-1)(x+1) est ce qui provoque les limites finies 2) , 3) 5) et 6)
Les droites verticales ne font pas partie de f(x).
Au même titre que la droite oblique (l’asymptote), ces trois droites ne sont là que pour guider vers la solution.
Ok donc f(x) = -x + 1 / (x-1)(x+1)
J'ai compris je pense.. mais j'ai peur de ne pas savoir retrouver les valeur interdites au tout début et donc me tromper
Avec le site que je vous mis plus haut , tracer f(x) trouvée pour vous rendre compte que la courbe ressemble à celle du graphique de l’exercice.
Sinon
Pourquoi avec la première je dois remplacer la valeur dans la deuxième et pas le contraire ?
Parce qu’il est plus facile de faire dans ce sens là (pour cet exercice).
On peut le faire dans l’autre sens ; cela donnera le même résultat.
Les valeurs interdites :
Quant il y a une limite finie c'est-à-dire une limite pour un « x » proche d’une valeur donnée ; cela signifie qu’il y a une valeur interdite.
Pour la limite quant x -> 1, cela signifie que pour x=1 on n’arrive pas à calculer f(x).
A votre niveau, cela signifie qu’un dénominateur s’annule. Le dénominateur (pour une seule valeur interdite) est de la forme x+a.
Pour x=1 on a x+a = 0 => 1 + a = 0 => a = - 1
Donc pour la première valeur de limite (x->1) le dénominateur est (x – 1)
Si on fait pareil , avec la limite x-> - 1 , on trouve (x+1)
Donc le dénominateur est (x+1)(x – 1) .
Est-ce plus clair ?
N'hésitez pas à le dire s'il y a encore une peur , un blocage.
merci :)
en faite les valeurs interdite sont les x -> ... du premier exercice ?
donc les lignes verticales sur le graphe ne me servent à rien? je dois pas les regarder ?
oui les valeurs interdites sont les limites finies.
quant x-> + ou - infini , ce n'est pas une valeur interdite.
Les lignes verticales ne sont là que pour indiquer qu'il y a une limite pour cette valeur ; je vais dire qu'elles sont des asymptotes verticales.
Ils ont besoin d'aide !
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Bonjour,
Normalement les numéros doivent correspondre entre le graphique et vos réponses ?
il y a deux limites qui sont inversées.
Oui. Non rien est inversé, j'ai vérifié ...