Les Dérivations

Publié le 28 déc. 2014 il y a 9A par Anonyme - Fin › 2 janv. 2015 dans 9A
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Sujet du devoir

Bonjour,

Voilà j'ai 3 exercices, à faire, je les ai tous commencés, sans savoir comment les terminer..

Voici les énoncés: (j'ai mis mon avancement dans la deuxième partie en bas.)

Exercice I)

f est la fonction définie sur R par : f(x) = 4x² - 6x+ 2.

Démontrez que la courbe C représentative de f est au-dessus de n'importe laquelle des ses tangentes.

 

Exercice II)

A tout nombre m différent de 0, on associe la parabole Pm d'équation :

y = mx² + (1 - 2m)x + m.

Démontrez que toutes ces paraboles sont tangentes entre elles.

 NOTE : On dit que deux paraboles P1 et P2 sont tangentes lorsqu'elles ont un point commun A et un tangente commune en A.

 

Exercice III)

La courbe C ci dessus est celle d'une fonction f définie et dérivable sur R. Les tangentes à la courbe en A et B sont horizontales. La tangente en O, origine du repère passe par le point C(-1;2). (Voir illustration)

  1.  Justifiez que : f'(0)=-2; f'(-1)=0 et f'(2)=0 
  2.  On suppose que la fonction f', dérivée de f est définie pour tout x par f'(x)=ax²+bx+c. Calculez a,b et c et déterminez f'(x) 

 

Merci d'avance pour votre aide :)

Où j'en suis dans mon devoir

Exercice I)

J'ai calculé f'(a).

f'(a) = (8a-6)   <-- Mais là j'ai un doute, je ne sais pas s'il faut que je remplace le 'moins' par un 'plus'.

Je calcule ensuite la tangente T :

f'(a)(x-a)+f(a)

(8a-6)(x-a)+4a²-6a+2

8ax-8a²-6x+6a+4a²-6a+2

8ax-4a²-6x+2

(8a+6)x-4a²+2 = T

La tangente en un point d'abscisse a a pour équation a pour équation : (8a+6)x-4a²+2 = y

 

Il faut donc montrer que, quel que soit a, f(x)-y > 0 donc

4x²+6x+2-[(8a-6)x-4a²+2]>0

C'est là où je bloque.. Je ne sais pas du tout si mes résultats et mon raisonnement sont justes, et s'il faut que j'utilise les identités remarquables pour résoudre l'inéquation..

J'ai donc tenté quelque chose :

4x²+6x+2-[(8a-6)x-4a²+2]>0

4x²-6x-8ax+6x+4a²

4x²-8ax-4a²

 

 

Exercice II)

Je trouve un point commun A et un tangente commune en A entre les paraboles

d'équation : mx²+(1-2m)x+m et px²+(1-2p)x+p.

m et p, des nombre quelconque différents de 0.

mx²+(1-2m)x+m = px²+(1-2p)x+p

 

Je mets tout d'un seul coté :

(m-p)x²+2(p-m)x+m-p = 0

Je trouve comme discriminant (avec b²-4ac): 

2(p-m)²-4(m-p)(m-p)

4(p-m)²-4(m-p)² = 0

Delta = 0

donc x=-b/2a devient -2(p-m)/2(m-p)=-1

x=-1

Mais je ne sais pas comment conclure et si c'est correct.

 

Exercice III)

1-

. f'(0)=-2

Je calcule le coefficient directeur de la tangente en O passant donc par l'origine du repère :

Avec C(-1;2) et O(0;0)

0-2/0+1=-2/1=(-2)

Donc f'(0)=-2.

. f'(-1)=0

Je calcule le coefficient directeur de la tangente en A:

Avec A(-1;1) et K(-2;1)

1-1/-1+2=0/1=0

Donc f'(-1)=0.

. f'(2)=0

Je calcule le coefficient directeur de la tangente en B:

Avec B(2;3,5) et L(3;3,5)

3,5-3,5/3-2=0/1=0

Donc f'(2)=0.

Voilà, je ne sais pas si là encore, je répond correctement à ce qui est demandé.

 

2-

Pour le petit 2) je ne sais pas par où commencer.

 

 




21 commentaires pour ce devoir


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anny
anny
Posté le 28 déc. 2014

bonjour,

pour l'exo 1, ce que tu as fait est juste, mais il faut que tu continues ton calcul

il faut résoudre l'équation avec a comme inconnue pour trouver la signe du polynôme.

Anonyme
Posté le 28 déc. 2014

 

4x²-6x+2-[(8a-6)x-4a²+2]>0

après réduction, j'arrive à :
4x²-8ax+4a² > 0
<=> 4(x²-2ax+a²) > 0 
<=> (x-a)² > 0  <--- identité remarquable donc

<=> x²-2xa+a² ?

anny
anny
Posté le 28 déc. 2014

pour l'exo 2

ton raisonnement est juste

mais tu fais une erreur de signe à la fin x = 1

tu remplaces x  dans ton équation  de départ   et tu auras  y =1

tu conclus en disant que toutes les paraboles sont tangentes au point ( 1 ; 1)

c'est le point commun à toutes les paraboles

anny
anny
Posté le 28 déc. 2014

pour l'exo 1)  non

a =4      b =   -8x                 c = 4x²

delta = 64 x² - 64x² = 0         

donc le polynôme est toujours du signe de a                et a = 4   donc positif

donc    f(x)-y toujours > 0    donc ..........

Anonyme
Posté le 28 déc. 2014

f(x)-y toujours > 0 donc f(x) est supérieur à T:(y)= (8a-6)x-4a²+2 ce qui signifie que la courbe représentative de f est située au-dessus de la tangente pour n'importe quel a.

anny
anny
Posté le 28 déc. 2014

oui c'est bon

anny
anny
Posté le 28 déc. 2014

pour le 3) c'est ok

tu ajoutes le théorème

le coefficient directeur de la tangente en ce point est le nombre dérivé en ce point

anny
anny
Posté le 28 déc. 2014

pour l'exo 3  b           f'(x) = ax² +bx +c

tu dois faire un système

f'(0)=-2          a *0² + b *0 + c  =  -2    =>    c =  .......

f'(-1)=0        

 f'(2)=0        

Anonyme
Posté le 28 déc. 2014

Exo 2 :

Delta = 0
donc xA=-b/2a devient -2(p-m)/2(m-p)
x = 1
d'où yA = f(xA) = 1

De quelle équation de départ il faut que je remplace x par y?

Celle-ci? : (m-p)x²+2(p-m)x+m-p = 0

Donc en remplaçant par y les x : (m-p)y²+2(p-m)y+m-p = 0 ?

anny
anny
Posté le 28 déc. 2014

exo   2

équation de l'énoncé   mx²+(1-2m)x+m

tu remplaces x par 1 la valeur que tu as trouvé 

m1²+(1-2m)*1+ m  = m + 1 - 2m +m = 1 

Anonyme
Posté le 28 déc. 2014

Ah oui, c'était sous mes yeux..

Mais comment je peux calculer la tangente de mx²+(1-2m)x+m

avec y = f'(1)(x-1) + f(1)?

J'ai essayé : y = f'(1)(x-1) + f(1) <=> y = 1(x-1)+1 = 1x-1+1 = 1x

 

anny
anny
Posté le 28 déc. 2014

pour l'exo 2)

oui c'est juste             y = x   ( c'est la tangente commune à toutes les paraboles)

au point d'abcisse x = 1

Anonyme
Posté le 28 déc. 2014

Exercice III :

Ah je pense avoir compris :

f'(0) = -2 donne a*0 + b*0 + c = -2, soit c = -2
f'(-1) = 0 donne a*(-1)²+b*(-1)+c = 0 soit a-b-2 = 0
f'(2) = 0 donne a*(2)²+b*(2)+c = 0 soit 4a+2b-2 = 0

Pour f'(-1) = 0 et f'(2) = 0 établir un système pour les 2 équations à 3 inconnues pour trouver a et b?
Car dans l’énoncé, est demandé de trouver les valeurs de a, b, et c

anny
anny
Posté le 28 déc. 2014

f'(0)=-2          a *0² + b *0 + c  =  -2    =>    c = -2

f'(-1)=0         a * (-1)² + b(-1) -2 = 0     =>  a  - b   = 2

 f'(2)=0         a * (2)² + b(2) -2 = 0       =>4  a +2 b = 2

méthode par substitution

a =  b +2      =>    4 ( b +2)  + 2 b = 2    =>   b = .............

.........................

anny
anny
Posté le 28 déc. 2014

si tu étudies le signe de la dérivée tu vois que ça correspond aux variations de la fonction f représentée sur le graphique.

Anonyme
Posté le 28 déc. 2014

a² = b +2

=> 4 ( b +2) + 2 b = 2

=> b = 4b+4*2+2b = 2

=> 6b=2-8

=> b = -1

Si a² = b+2 alors a² = (-1)+2 = -2

Donc a = racinecarré(2)

b = -1

c = -2

 

f'(x) = racindecarré(2)x²-1x-2

Le signe de la dérivée est positif car a est positif.

 

C'est exact?

anny
anny
Posté le 28 déc. 2014

excuse moi j'ai fait une faute de frappe  (j'ai rectifié)

f'(-1)=0                  a * (-1)² + b(-1) -2 = 0 => a - b = 2

le carré c'était pour le (-1) et pas pour le a 

a - b = 2    =>   a  =  2 +  b       =>     a   =  2 -1  =  1

l'équation de f' (x)  =  x² - x  - 2

a = 1

b= -1

c = -2 

Anonyme
Posté le 28 déc. 2014

D'accord merci,

donc en conclusion je peux mettre que le signe de la dérivée est positif car a est positif?

anny
anny
Posté le 28 déc. 2014

non le signe de la dérivée n'est pas toujours positif

on ne te le demande pas dans ton exo mais les racines de la dérivée    c'est   

               x1 =-1      x2  =  2

méthode delta ..........

signe de a à l'extérieur des racines et signe de -a  à l'intérieur des racines 

donc la dérivée est positive de -OO à -1

négative de -1 à 2

positive de 2 à +OO

ce qui correspond à ton graphique 

la fonction est croissante        -OO à -1     et    de      2 à +OO

et décroissante de   -1 à 2

Anonyme
Posté le 28 déc. 2014

D'accord je comprend mieux. Merci beaucoup pour l'aide, cela m'a été très utile! :)

anny
anny
Posté le 28 déc. 2014

tant mieux

bonne soirée :)


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