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Sujet du devoir
Bonjour,
Voilà j'ai 3 exercices, à faire, je les ai tous commencés, sans savoir comment les terminer..
Voici les énoncés: (j'ai mis mon avancement dans la deuxième partie en bas.)
Exercice I)
f est la fonction définie sur R par : f(x) = 4x² - 6x+ 2.
Démontrez que la courbe C représentative de f est au-dessus de n'importe laquelle des ses tangentes.
Exercice II)
A tout nombre m différent de 0, on associe la parabole Pm d'équation :
y = mx² + (1 - 2m)x + m.
Démontrez que toutes ces paraboles sont tangentes entre elles.
NOTE : On dit que deux paraboles P1 et P2 sont tangentes lorsqu'elles ont un point commun A et un tangente commune en A.
Exercice III)
La courbe C ci dessus est celle d'une fonction f définie et dérivable sur R. Les tangentes à la courbe en A et B sont horizontales. La tangente en O, origine du repère passe par le point C(-1;2). (Voir illustration)
- Justifiez que : f'(0)=-2; f'(-1)=0 et f'(2)=0
- On suppose que la fonction f', dérivée de f est définie pour tout x par f'(x)=ax²+bx+c. Calculez a,b et c et déterminez f'(x)
Merci d'avance pour votre aide :)
Où j'en suis dans mon devoir
Exercice I)
J'ai calculé f'(a).
f'(a) = (8a-6) <-- Mais là j'ai un doute, je ne sais pas s'il faut que je remplace le 'moins' par un 'plus'.
Je calcule ensuite la tangente T :
f'(a)(x-a)+f(a)
(8a-6)(x-a)+4a²-6a+2
8ax-8a²-6x+6a+4a²-6a+2
8ax-4a²-6x+2
(8a+6)x-4a²+2 = T
La tangente en un point d'abscisse a a pour équation a pour équation : (8a+6)x-4a²+2 = y
Il faut donc montrer que, quel que soit a, f(x)-y > 0 donc
4x²+6x+2-[(8a-6)x-4a²+2]>0
C'est là où je bloque.. Je ne sais pas du tout si mes résultats et mon raisonnement sont justes, et s'il faut que j'utilise les identités remarquables pour résoudre l'inéquation..
J'ai donc tenté quelque chose :
4x²+6x+2-[(8a-6)x-4a²+2]>0
4x²-6x-8ax+6x+4a²
4x²-8ax-4a²
Exercice II)
Je trouve un point commun A et un tangente commune en A entre les paraboles
d'équation : mx²+(1-2m)x+m et px²+(1-2p)x+p.
m et p, des nombre quelconque différents de 0.
mx²+(1-2m)x+m = px²+(1-2p)x+p
Je mets tout d'un seul coté :
(m-p)x²+2(p-m)x+m-p = 0
Je trouve comme discriminant (avec b²-4ac):
2(p-m)²-4(m-p)(m-p)
4(p-m)²-4(m-p)² = 0
Delta = 0
donc x=-b/2a devient -2(p-m)/2(m-p)=-1
x=-1
Mais je ne sais pas comment conclure et si c'est correct.
Exercice III)
1-
. f'(0)=-2
Je calcule le coefficient directeur de la tangente en O passant donc par l'origine du repère :
Avec C(-1;2) et O(0;0)
0-2/0+1=-2/1=(-2)
Donc f'(0)=-2.
. f'(-1)=0
Je calcule le coefficient directeur de la tangente en A:
Avec A(-1;1) et K(-2;1)
1-1/-1+2=0/1=0
Donc f'(-1)=0.
. f'(2)=0
Je calcule le coefficient directeur de la tangente en B:
Avec B(2;3,5) et L(3;3,5)
3,5-3,5/3-2=0/1=0
Donc f'(2)=0.
Voilà, je ne sais pas si là encore, je répond correctement à ce qui est demandé.
2-
Pour le petit 2) je ne sais pas par où commencer.
21 commentaires pour ce devoir
pour l'exo 2
ton raisonnement est juste
mais tu fais une erreur de signe à la fin x = 1
tu remplaces x dans ton équation de départ et tu auras y =1
tu conclus en disant que toutes les paraboles sont tangentes au point ( 1 ; 1)
c'est le point commun à toutes les paraboles
pour l'exo 1) non
a =4 b = -8x c = 4x²
delta = 64 x² - 64x² = 0
donc le polynôme est toujours du signe de a et a = 4 donc positif
donc f(x)-y toujours > 0 donc ..........
f(x)-y toujours > 0 donc f(x) est supérieur à T:(y)= (8a-6)x-4a²+2 ce qui signifie que la courbe représentative de f est située au-dessus de la tangente pour n'importe quel a.
oui c'est bon
pour le 3) c'est ok
tu ajoutes le théorème
le coefficient directeur de la tangente en ce point est le nombre dérivé en ce point
pour l'exo 3 b f'(x) = ax² +bx +c
tu dois faire un système
f'(0)=-2 a *0² + b *0 + c = -2 => c = .......
f'(-1)=0
f'(2)=0
Exo 2 :
Delta = 0
donc xA=-b/2a devient -2(p-m)/2(m-p)
x = 1
d'où yA = f(xA) = 1
De quelle équation de départ il faut que je remplace x par y?
Celle-ci? : (m-p)x²+2(p-m)x+m-p = 0
Donc en remplaçant par y les x : (m-p)y²+2(p-m)y+m-p = 0 ?
exo 2
équation de l'énoncé mx²+(1-2m)x+m
tu remplaces x par 1 la valeur que tu as trouvé
m1²+(1-2m)*1+ m = m + 1 - 2m +m = 1
Ah oui, c'était sous mes yeux..
Mais comment je peux calculer la tangente de mx²+(1-2m)x+m
avec y = f'(1)(x-1) + f(1)?
J'ai essayé : y = f'(1)(x-1) + f(1) <=> y = 1(x-1)+1 = 1x-1+1 = 1x
pour l'exo 2)
oui c'est juste y = x ( c'est la tangente commune à toutes les paraboles)
au point d'abcisse x = 1
Exercice III :
Ah je pense avoir compris :
f'(0) = -2 donne a*0 + b*0 + c = -2, soit c = -2
f'(-1) = 0 donne a*(-1)²+b*(-1)+c = 0 soit a-b-2 = 0
f'(2) = 0 donne a*(2)²+b*(2)+c = 0 soit 4a+2b-2 = 0
Pour f'(-1) = 0 et f'(2) = 0 établir un système pour les 2 équations à 3 inconnues pour trouver a et b?
Car dans l’énoncé, est demandé de trouver les valeurs de a, b, et c
f'(0)=-2 a *0² + b *0 + c = -2 => c = -2
f'(-1)=0 a * (-1)² + b(-1) -2 = 0 => a - b = 2
f'(2)=0 a * (2)² + b(2) -2 = 0 =>4 a +2 b = 2
méthode par substitution
a = b +2 => 4 ( b +2) + 2 b = 2 => b = .............
.........................
si tu étudies le signe de la dérivée tu vois que ça correspond aux variations de la fonction f représentée sur le graphique.
a² = b +2
=> 4 ( b +2) + 2 b = 2
=> b = 4b+4*2+2b = 2
=> 6b=2-8
=> b = -1
Si a² = b+2 alors a² = (-1)+2 = -2
Donc a = racinecarré(2)
b = -1
c = -2
f'(x) = racindecarré(2)x²-1x-2
Le signe de la dérivée est positif car a est positif.
C'est exact?
excuse moi j'ai fait une faute de frappe (j'ai rectifié)
f'(-1)=0 a * (-1)² + b(-1) -2 = 0 => a - b = 2
le carré c'était pour le (-1) et pas pour le a
a - b = 2 => a = 2 + b => a = 2 -1 = 1
l'équation de f' (x) = x² - x - 2
a = 1
b= -1
c = -2
D'accord merci,
donc en conclusion je peux mettre que le signe de la dérivée est positif car a est positif?
non le signe de la dérivée n'est pas toujours positif
on ne te le demande pas dans ton exo mais les racines de la dérivée c'est
x1 =-1 x2 = 2
méthode delta ..........
signe de a à l'extérieur des racines et signe de -a à l'intérieur des racines
donc la dérivée est positive de -OO à -1
négative de -1 à 2
positive de 2 à +OO
ce qui correspond à ton graphique
la fonction est croissante -OO à -1 et de 2 à +OO
et décroissante de -1 à 2
D'accord je comprend mieux. Merci beaucoup pour l'aide, cela m'a été très utile! :)
tant mieux
bonne soirée :)
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bonjour,
pour l'exo 1, ce que tu as fait est juste, mais il faut que tu continues ton calcul
il faut résoudre l'équation avec a comme inconnue pour trouver la signe du polynôme.
4x²-6x+2-[(8a-6)x-4a²+2]>0
après réduction, j'arrive à :
4x²-8ax+4a² > 0
<=> 4(x²-2ax+a²) > 0
<=> (x-a)² > 0 <--- identité remarquable donc
<=> x²-2xa+a² ?