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Sujet du devoir
Dessiner un arc de la parabole d'équation y=x² pour x appartenant à [0;1]. Le but de cet exercice est de donner une approximation de la longueur de cet arc de parabole.
PRINCIPE: on partage en n parties de même longueur le segment [0;1]. On calcule alors la longueur de chaque segment reliant les points de coordonnées (k/n,(k/n)²) et ((k+1)/n,((k+1)/n)²) pour k variant de 0 à n-1 .
- Calculer la longueur approximative de cet arc de cercle pour n=1;n=2;n=3;n=4.
- Ecrire un algorithme qui permet de donner les valeurs de la suite (ln)n>=1 qui donne la longueur approximative de l'arc de la parabole.
- Cette suite est elle convergente ?
- Modifier l'algorithme pour le calcul de cette longueur approximative pour un intervalle [a;b].
Où j'en suis dans mon devoir
Je n'ai pas commencé cet exercice car je ne comprend vraiment rien; pourriez-vous m'aidez à le faire avec moi s'il vous plait merci d'avance .
4 commentaires pour ce devoir
Bonjour,
Voyez cet exercice comme le calcul de longueur de « n » hypoténuses de triangle rectangle.
Prenons n=2,
Quant vous divisez l’intervalle [0 ;1] par n , en 2, vous avez trois points dans le repère :
A => x=0 , y=0 donc (0 ; 0)
B => x=1/2 , y=x²=1/4 donc (1/2 ; 1/4)
C => x=1 , y=x²=1 donc (1 ; 1)
Calculez les longueurs AB et BC
La somme de AB et BC est la longueur de l’arc pour n=2.
Faites la même chose pour les autres valeurs de « n » demandées.
Puis essayez de généraliser pour n’importe quelle valeur de « n ».
Merci encore pour l'aide que vous m'avez apporté :)
Ils ont besoin d'aide !
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1) est facile.
Si n=1 on ne découpe l'intervalle [0;1] en un seul morceau et on cherche les points sur la courbe pour k=0 et k=n=1; on calcule donc
pour k=0 y0=x0²=0²=0 d'où un point P0(0;0)
pour k=1 y=x1²=1²=1 "" """ P1(1,1)
et on dit que la longueur approximative de l'arc est celle du segment P0P1 (les 0 et 1 sont en indice dans la notation)
cela donne l1=racine((x1-x0)²+(y1-y0)²)=racine(2)
Pour n=2 on coupe [0;1] en 2 morceaux
on cherche les points de la courbe pour x0=0; x1=1/2; x2=2/2=1 ce qui donne les points P0, P1, P2
l2 est la somme des distances P0P1 et P1P2
Pour n=3 on coupe en 3 morceaux et on cherche les points de la courbe pour
x=0; x=1/3; x=2/3; x=3/3=1 et on obtient P0, P1, P2, P3
l3=P0P1+P1P2+P2P3
2) l'algorithme doit calculer pour k=0 à n-1 les longueurs dk entre deux point consécutifs, donc de coordonnées (k/n; (k/n)²) et ((k+1)/n ; ((k+1)/n)²) et ajouter chaque fois le résultat obtenu au calcul précédent.
Il pourrait être du type:
Variables L, k, n, d, x, x1, y, y1 : réels
Initialisation:
L=0
Demander "valeur de n :"
Affecter à n
Traitement :
Pour k=0 à n
x1=(k+1)/n ; y1=x1²
x = k/n ; y = (k/n)²
d=racine carrée((x1-x)²+(y1-y)²)
L=L+d
fin pour
Sortie :
Afficher L
3)
La suite ln converge car elle est croissante et majorée par la longueur de la courbe.
4) il suffit d'ajouter dans initialisation
demander a,b
affecter à a et b
et dans le traitement changer x1 et x par ceci :
x1 = a+(k+1)/n * (b-a) ; y1 = x1²
x = a + k/n * (b-a) ; y=x²
le reste est identique
Merci beaucoup pour m'avoir aidé :)