Longueur d'un arc de parabole

Publié le 12 avr. 2014 il y a 9A par Anonyme - Fin › 17 avr. 2014 dans 9A
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Sujet du devoir

Dessiner un arc de la parabole d'équation y=x² pour x appartenant à [0;1]. Le but de cet exercice est de donner une approximation de la longueur de cet arc de parabole.

PRINCIPE: on partage en n parties de même longueur le segment [0;1]. On calcule alors la longueur de chaque segment reliant les points de coordonnées (k/n,(k/n)²) et ((k+1)/n,((k+1)/n)²) pour k variant de 0 à n-1 .

 

  1. Calculer la longueur approximative de cet arc de cercle pour n=1;n=2;n=3;n=4.
  2. Ecrire un algorithme qui permet de donner les valeurs de la suite (ln)n>=1 qui donne la longueur approximative de l'arc de la parabole.
  3. Cette suite est elle convergente ?
  4. Modifier l'algorithme pour le calcul de cette longueur approximative pour un intervalle [a;b].

Où j'en suis dans mon devoir

Je n'ai pas commencé cet exercice car je ne comprend vraiment rien; pourriez-vous m'aidez à le faire avec moi s'il vous plait merci d'avance .




4 commentaires pour ce devoir


Anonyme
Posté le 12 avr. 2014

1) est facile. 

 

Si n=1 on ne découpe l'intervalle [0;1] en un seul morceau et on cherche les points sur la courbe pour k=0 et k=n=1; on calcule donc

pour k=0     y0=x0²=0²=0   d'où un point    P0(0;0)

pour k=1     y=x1²=1²=1   ""      """           P1(1,1)

et on dit que la longueur approximative de l'arc est celle du segment P0P1  (les 0 et 1 sont en indice dans la notation)

cela donne l1=racine((x1-x0)²+(y1-y0)²)=racine(2)

 

Pour n=2 on coupe [0;1] en 2 morceaux

on cherche les points de la courbe pour x0=0; x1=1/2; x2=2/2=1 ce qui donne les points P0, P1, P2

l2 est la somme des distances P0P1 et P1P2

Pour n=3 on coupe en 3 morceaux et on cherche les points de la courbe pour 

x=0; x=1/3; x=2/3; x=3/3=1 et on obtient P0, P1, P2, P3

l3=P0P1+P1P2+P2P3

 

2) l'algorithme doit calculer pour k=0 à n-1 les longueurs dk entre deux point consécutifs, donc de coordonnées (k/n; (k/n)²)  et ((k+1)/n  ; ((k+1)/n)²) et ajouter chaque fois le résultat obtenu au calcul précédent.

Il pourrait être du type:

Variables L, k, n, d, x, x1, y, y1 : réels

Initialisation:

L=0

Demander "valeur de n :"

Affecter à n

 

Traitement :

Pour k=0 à n

       x1=(k+1)/n  ;  y1=x1²

       x = k/n  ; y = (k/n)²

       d=racine carrée((x1-x)²+(y1-y)²)

       L=L+d

fin pour

 

Sortie :

Afficher L

3) 

La suite ln converge car elle est croissante et majorée par la longueur de la courbe.

4)  il suffit d'ajouter dans initialisation

demander a,b

affecter à a et b

et dans le traitement changer x1 et x par ceci :

x1 = a+(k+1)/n * (b-a)  ;  y1 = x1²

x = a + k/n * (b-a)  ; y=x²

le reste est identique

 

 

Anonyme
Posté le 13 avr. 2014

Merci beaucoup pour m'avoir aidé  :)

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 12 avr. 2014

Bonjour,
Voyez cet exercice comme le calcul de longueur de « n » hypoténuses de triangle rectangle.
Prenons n=2,
Quant vous divisez l’intervalle [0 ;1] par n , en 2, vous avez trois points dans le repère :
A => x=0 , y=0 donc (0 ; 0)
B => x=1/2 , y=x²=1/4 donc (1/2 ; 1/4)
C => x=1 , y=x²=1 donc (1 ; 1)
Calculez les longueurs AB et BC
La somme de AB et BC est la longueur de l’arc pour n=2.
Faites la même chose pour les autres valeurs de « n » demandées.
Puis essayez de généraliser pour n’importe quelle valeur de « n ».

Anonyme
Posté le 13 avr. 2014

Merci encore pour l'aide que vous m'avez apporté :)


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