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Sujet du devoir
Après rénovation d'un tronçons autoroutier, on souhaiterait raccorder ce nouveau tronçon à l'ancien, comme l'indique la figure ci-dessous représentant une vue de dessus. Le repère est orthonormé avec pour unité graphique 100 mètres.
Un relevé topographique permet de modéliser l'ancien tronçon par la parabole d'équation y=0,3(x)^2 - 0,2x, le point de jonction B ayant pour coordonnées (4;4).
Le nouveau tronçon est une demie-droite horizontale d'origine A(0;0). Pour des raisons de confort de conduite et de sécurité, le raccordement doit être tangent à chacun des tronçons.
On décide de raccorder les deux tronçons par un arc de cercle passant par le point de jonction B et un point de jonction C(a;0) (avec a<0) sur le nouveau tronçon.
Déterminer le centre de cet arc de cercle et la valeur de a de sorte que ce raccordement circulaire soit tangent aux deux tronçons.
Où j'en suis dans mon devoir
Alors, nous avons essayé de passer par l'équation d'un cercle pour ensuite résoudre un système d'équation, mais on se retrouvait avec trop d'inconnues.
On ne sait vraiment pas par où commencer, pourquoi pas trouver la tangente au point B pour ensuite dire que le rayon et la tangente sont perpendiculaires donc avec le produit scalaire on pourrait trouver le vecteur directeur du rayon (OB), mais nous avons l'impression que cela ne mènera à rien pour trouver le centre du cercle...
Nous vous remercions de votre aide!
3 commentaires pour ce devoir
Bonjour,
Vous avez la bonne méthode pour résoudre le problème mais vous n’avez pas trop analysé le problème pour avoir toutes les informations nécessaire pour résoudre le système d’équation.
Le cercle a pour équation (x-I)^2 + (y-J)^2 = R^2 (avec I et J les coordonnées du centre et R son rayon)
Un rayon est toujours perpendiculaire à une tangente.
Il faut réfléchir, quel est l’abscisse du centre du cercle sachant que C (a ; 0) (pensez à une perpendiculaire au tronçon demi-droite)
Ensuite le rayon qui arrive en B est perpendiculaire à la tangente de la courbe.
Donc le produit de leur coefficient directeur = - 1
Il vous faut donc trouver l’équation de la tangente à la courbe au point B.
Puis l’équation du « rayon ».
Le centre du cercle se situe sur cette droite
Normalement, vous avez les coordonnées du centre en fonction de « a » ; c'est-à-dire I et J en fonction de « a ».
Vous pouvez donc connaître le rayon « R » en fonction de « a ».
Il reste à tout mettre cela dans « (x-I)^2 + (y-J)^2 = R^2 », vous arrivez à une équation du second degré avec pour seule inconnue « a ». Une équation égale à 0 qu’il faut résoudre.
Une solution sera positive et une autre négative.
Suivant l’énoncé, il faut prendre la négative.
Maintenant vous pouvez calculer I et J.
Tenir au courant
Remarque pour les prochaines fois : postez la figure de l'exercice.
Ils ont besoin d'aide !
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il faudrait que tu mettes le schéma.