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Sujet du devoir
Trois droites (d1) (d2) et (d3) sont concourantes en un point O. A et A' sont deux points de (d1), B et B' deux points de (d2) et C et C', deux points de (d3).
On suppose que, les droites (AB) et (A'B') sont sécantes en I, les droites (AC) et (A'C') sont sécantes en J et les droites (BC) et (B'C') sont sécantes en K.
On cherche à démontrer que les points I,J,K sont alignés.(Théorème de Desargues)
1.Justifier l'existence de trois réels a,b et c tels que (v devant les lettres = vecteur)
vOA'= a vAA', vOB' = b vBB' et vOC'= c vCC'
2. Prouver que : a vOA+(1-a) vOA' = b vOB+(1-b) vOB' = c vOC+(1-c) vOC' = v0 (1)
3. On souhaite démontrer que les réels a,b et c sont deux à deux distincts.
a) On suppose par exemple que a=b. Démontrer que : a vBA+(1-a) vB'A' = v0
b) En déduire que, pour toute valeur de a, vBA et vB'A' sont colinéaires.
c) Conclure
4. On considère le point M défini par : vOM = (a/a-b)vOA - (b/a-b)vOB
a) Pourquoi le point M existe t-il ?
b) Démontrer que vAM = (b/a-b)vBA
Que peut on dire des points A,B et M ?
c) En utilisant les relations démontrées à la question 2), démontrer que (a-b) vOM = (a-1) vOA' - (b-1) vOB'
c) Démontrer que M est un point de la droite (A'B')
d) En déduire que (a-b) vOI = a vOA - b vOB
5. Donner sans démonstration, les égalités analogues vérifiées par les points J et K
6. Alignement de I, J et K
a) Calculer (a-b) vOI+ (c-a) vOJ + (b-c) vOK
b) Conclure.
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai la question 1 et 2 et la 3 je suis complètement bloqué :( Aider moi !
20 commentaires pour ce devoir
3)utilise chasles (introduis B et B') et l'égalité démontrée en 2. en prenant b=a
4)a) introduire A avec chasles dans OM et OB (dans l' égalité donnée en début du 4)
b)l'égalité du 4) s'écrit aussi (a-b)OM =a OA -b OB
utiliser les relations (1) données dans la question 2)
c)démontrer que A'M et A'B' sont colinéaires
introduire A' dans l'égalité démontrée en 4)b.
j'introduis B et B' dans avBA +(1-a)vB'A' ? je developpe d'abord l'expression ?
je ne comprend pas
le sujet est + clair ici
http://www.devoirs.fr/1ere/mathematiques/devoir-maison-le-theoreme-de-desargues-269459.html
dsl ,j'ai mélangé les lettres
tu introduis O et O' dans a BA +(1-a)B'A' =a(..+..) +(1-a) (..+...)
tu utilises l'égalité démontrée en 2.
j'obtiens :
avBA + ( 1-a) vB'A'
a vBO + vOB +(1-a) vB'O+ vOA'
a[ vBO + vOA] +(1-a)[ vB'O+ vOA']
=[a vOA +(1-a) vOA' ] +...
comme a=b
a[ vBO + vOA] +(1-a)[ vB'O+ vOA']
=[a vOA +(1-a) vOA' ] + [b vOB +(1-b) vOB'
C'est juste ?
a[ vBO + vOA] +(1-a)[ vB'O+ vOA']
=[a vOA +(1-a) vOA' ] + [a vOB +(1-a) vOB']
=[a vOA +(1-a) vOA' ] + [b vOB +(1-b) vOB' ] car a=b
=0 d'après égalité du 2.
d'accords merci
et pour la 3 b comment je déduis que pour toute valeur de a, vBA et vB'A' sont colinéaire car sur le dessin ils ne sont même pas parallèle....
3.b. tu te places toujours dans le cas où a=b
tu as démontré a BA +(1-a) B'A'
BA= (1-a) /a * B'A' avec a#0 donc.....
c.c'est une démonstration par l'absurbe
si a= b alors les vecteurs BA et B'A' colinéaires
si les vecteurs non colinéaires ,alors ...
B° donc vBA et vB'A' sont colinéaire ?
c) on en déduis que vBA et vB'A' sont colinéaire. Donc que, les droites (AB)// (A'B')
Ce qui est absurde puisque l'énoncé dit : les droites (AB) et (A'B') sont secante en I.
L'hypothèse a=b est absurde alors a,b et c sont 2 à 2 distincts ?
c'est juste je suis pas du tout sure ?
personne répond ?
je ne suis pas tjs devant l'ordi
oui ,c'est ça tu as compris pour la 3)
Ah d'accords et pour la 4) a Pourquoi le point M existe-il ? comment je pourrais justifier tous çà ?
si j'introduis A avec chasles j'obtient :
OM =OA+AM= (a/a-b) OA - (b/a-b) OA+AB
c'est juste ou pas s'il te plait ?
4)a.
on a démontré en 3) que a#b
on peut donc trouver M tel que OM =(a/a-b) OA +(b/a-b) OB
b) OM =OA+AM= (a/a-b) OA - (b/a-b) OA+AB
pour les égalités et les équations ,1 seul signe = par ligne
OM = (a/a-b) OA - (b/a-b) OB
OA+AM= (a/a-b) OA - (b/a-b) (OA+AB)
AM = ......
les OA s'éliminent
Ils ont besoin d'aide !
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et les autres questions je vois pas trop comment m'y prendre de l'aide s'il vous plait...