Étudier la position de chacune des courbes par rapport à une tangente

Publié le 6 janv. 2014 il y a 10A par Anonyme - Fin › 13 janv. 2014 dans 10A
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Sujet du devoir

Coucou tout le monde, alors voilà j'ai un DM en Math à rendre, et il y a une question que je ne comprend pas..

Voici les question précédente:

- Déjà il s'agit de montrer que le point A de coordonnées (1;2) est commun à C1 (f(x)=x²+1), C2 (g(x)=1/2x²+x+1/2), C3 (h(x)= -x²+4x-1).

- Ensuite il faut montrer que les 3 courbes admettend en A la même tangente T.

- Et enfin la question que je n'arrive pas à faire: Il s'agit d'écrire une équation de T et d'étudier la position de chacune des courbes par rapport à T.

Où j'en suis dans mon devoir

Donc voici les réponses que j'ai trouvé pour les questions que j'ai déjà faites.

 

- Pour la question où il s'agit de montrer que le point A est commun au trois courbes, j'ai fait ceci:

On sait que A(1;2), et que f(x) = x²+1 , g(x)= 1/2x²+1+1/2 et h(x)= -x²+4x-1

On aura donc, f(A) =1²+1 = 2

g(A)= 1/2*1²+1+1/2 = 2

h(A) = -1²+4*1-1 = 2

Ainsi on peut dire que le point A est commun aux trois courbes.

 

- Pour la question où il s'agit de montrer que les trois courbes admetten en A la même tangente T, j'ai fait ceci:

On sait que A(1;2), et que f(x) = x²+1 , g(x)= 1/2x²+1+1/2 et h(x)= -x²+4x-1

f(x)= x²+1 −−−−−−−−−−−−−> f'(x)= 2x

g(x)= 1/2x²+x+1/2 −−−−−−−> g'(x)= x+1

h(x)= -x²+4x-1 −−−−−−−−−−> h'(x)= -2x+4

Ainsi on aura:

ø y= f'(A)(x-A)+f(A)

   y= f'(1)(x-1)+f(1)

   y= 2x

 

ø y= g'(A)(x-A)+g(A)

   y= g'(1)(x-1)+g(1)

   y= 2x

 

ø y= h'(A)(x-A)+h(A)

   y= h'(1)(x-1)+h(1)

   y= 2x

 

Donc  les 3 courbes admettent bien en A la même tangente T.

- Et maintenant pour cette question, je sais pas du tout comment faire..

Si quelqu'un pourrait m'aider ca serait vraiment sympa :D

Bref je vous remercie d'avance!




22 commentaires pour ce devoir


Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

bonjour

3) étudier la position de chacune des courbes par rapport à T.

équation de T : y = 2x ==> pour la fonction f, tu vas étudier le signe de f(x) - y, i.e. le signe de x²+1-2x

  • si cette différence est positive, alors C1 est située au-dessus de T
  • si cette différence est négative, alors C1 est située au-dessous de T

mm principe pour les autres fonctions --- as-tu compris ?

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

Je n'ai pas compris cette partie que tu as écrite: i.e. le signe de x²+1-2x

==> c'est la différence entre l'expression de f(x)  et l'expression qui définit la tangente (2x)

autre façon de dire : si on pose t(x) = 2x la fonction dont la représentation graphique est la tangente T, pour étudier la position relative de C1et de T, on établit f(x) - t(x) et on en étudie le signe. 

si par ex. on trouve que f(x)-t(x) >= 0 sur un intervalle, cela signifie que f(x) >= t(x) sur cet intervalle, et donc que la courbe de f est au-dessus de T.

  tu vois mieux ?

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

concernant la question 2, il n'est pas nécessaire d'établir les équations de tangentes pour chaque fonction  : une droite peut se définir avec un point et une pente : puisque A est point commun (question1), si les coeff directeurs sont égaux alors les 3 tangentes sont confondues

==> il te suffit de montrer que f '(1) = g '(1) = h '(1) , autrement dit que les coefficients directeurs des 3 tangentes sont égaux.

et ainsi, tu établiras l'équation de la tangente seulement à la question 3), comme demandé.

tu comprends ?

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

Donc si je comprend bien pour la question 2, je dois faire:

f'(1) = g'(1) = h'(1)

soit, 2*1 = 1+1 = -2*1+4 = 2,

après je dois faire quoi ?

 

Et pour la question 3, j'ai fait:

f(x) - y

soit, x²+1-2x, jusque là c'est bon, mais je dois faire quoi après? :(

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

t(x) c'est 2x ?

==> oui

ps : si tu dois me répondre, stp fais-le avec la fenetre du haut, sinon tous les messages se mélangent, et je risque de ne pas voir ce que tu écris :) merci .

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

En fait, le probleme c'est que je vois pas comment calculer la différence..

La j'ai fait: f(x) - y

soit x²+1-2x = 0

et je sais pas si c'est bon si je fais ça:

en simplifiant les x, ça donne: x+1-2 = 0 --- ???

soit, x-1 = 0

donc x vaut 1. Donc, C1 est au dessus de T.

C'est bon? ===> oups je suppose qu'en te relisant tu verras la grosse bétise que tu as dite :)

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

question  2

f'(1) = g'(1) = h'(1)

f'(1)= 2*1=2

g'(1)= 1+1=2

h'(1)= -2*1+4 =2

les 3 tangentes ont mm coeff directeur et passent par un mm point : elles sont donc confondues.

---

question 3 ) position relative de C1 et de T

f(x) - y =  x²+1-2x ----étudie le signe de ce polynome : ici c'est facile, tu y reconnais un carré remarquable (lequel?), donc de signe toujours, quel que soit x  ...? donc position relative des courbes ...?

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

je sais pas du tout quel carré remarquable on remarque..

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

x² - 2*x*1 + 1² ... ça ne te dit rien ?

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

Ah siiiiiiiiiiiii, (a-b)²

soit, (x-1)²

donc de signe toujours positif, donc C1 est au dessus de T ?

==> ahh super ! tu as compris, fais de mm avec g puis h

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

Pour g, je crois que j'ai un probleme..

Pour la fonction g on va etudier le signe de g(x)-y, soit:

1/2x²+x+1/2-2x , ce qui donne: 1/2x²-1x+1/2

Il y a une identité remarquable ?

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

1/2x² - x + 1/2

eh oui ^^ ... factorise d'abord 1/2,  et dans la ( ) tu y verras une id. remarquable

conseil : pour vérifier ta factorisation, au brouillon, tu la développes pour t'assurer que tu retrouves bien 1/2x² - x + 1/2

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

J'y arrive pas.. >_<

essaie encore, tu as vu ça en 3ème ... je sais que bcp d'élèves bloquent sur la factorisation :s, mais essaie encore, c'est important : pour t'aider, commence comme ça :

1/2x² - x + 1/2   =  (1/2 * ....)   -   (1/2 * ........)  +  (1/2 * ....)   =   1/2 (...... - ...... + ......)

que trouves-tu ?

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

C'est trop dur, j'y arrive vraiment pas, je m'emmèle les pinceaux..

1/2x²-x+1/2 = 1/2*(x²-2x) + (1/2*1)

soit, 1/2(x²-2x+1)

 

c'est bon? :s

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

et oui :)

1/2x²-x+1/2 = (1/2*x²) - (1/2*2x) + (1/2*1) =  1/2(x²-2x+1) = 1/2 (x-1)²     signe ..?

--> pour h, tu devras aussi factoriser pour faire apparaitre une identité remarquable

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

le signe tujours positif donc, au dessus de T ?

==> oui C2 au dessus de T

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

ET enfin, pour la fonction h , on eutidera le signe de h(x) - y,

soit -x²+4x-1-2x = -x²+2x-1

il y a encore une identité remarquable ici ? :o

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

et oui ! ---> factorise le signe -

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

h(x) - y,

soit -x²+4x-1-2x = -x²+2x-1

= - (x²+2x-1)

= -x²-2x+1

===> I.R : (a-b)²

donc, (-x-(-2))² ?

==> Signe toujours positif, donc C3 est au dessus de T ?

=> oulala !  ... = - (x²-2x+1)  = -(x-1)²    signe toujours négatif (à cause du signe -)

ps : apprends les identités remarquables par coeur, tu les utiliseras longtemps et tu sauras mieux les dépister si elles sont un peu cachées : et révise la factorisation ;)

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

ce type d’exercice « position relative de 2 courbes » est fréquent, il est possible que tu en aies un jour en contrôle, donc 2 remarques à retenir :

  • dans cet exo, on a pu facilement (lol) mettre en évidence des carrés remarquables, et ainsi en déduire le signe des polynomes de second degré… mais ce n’est pas toujours le cas ! tu aurais pu avoir à étudier le signe de 5x²-x-10, par ex ; comment faire alors ? ---> par le calcul de delta, tu recherches les racines éventuelles, puis tu appliques la règle du cours (à savoir par cœur, elle aussi ^^) sur le signe d’un trinome, ou bien tu fais un tableau de signes pour trouver les intervalles sur lesquels le trinome est positif, ou négatif.
  • d’autre part, à un contrôle, avant de rendre ta copie, tu peux vérifier tes réponses à l’aide de la calculette : tu traces par ex la fonction f(x) = x²+1, et la tangente y=2x --> graphiquement, tu vois que C1 est située au-dessus de T.
Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

D'accord !

Merci beaucoup beaucoup de m'avoir aider :D

==> de rien :) regarde ci-dessous, je t'ai donné qq conseils pour les exos à venir. 

bonne continuation ! 

Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

Oui oui j'ai vu, merci beaucoup :D


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