DEMONSTRATION EN UTILISANT LA GEOMETRIE.

Sujet du devoir

Bonsoir, je suis entrain de faire un exercice et je n'arrive pas a faire une partie :/ Merci de m'apporter votre aide ! :D
On note K le pied de la hauteur de ABC issue de B.

a- Demontrer que L'aire de ABC est égale a 5KB.

b- Quelle est la nature du triangle ABC lorsque la longueur KB est maximal ? ( selon mes reponses, Le maximal de KB est entre 14.14 et 14.5)

c- En deduire la valeur exacte de x

Merci d'avance de votre aide

Où j'en suis dans mon devoir

ABC est un triangle isocèle en A avec : AB = AC = 10 cm
H est le pied de la hauteur issue de A.
On se propose d'étudier les variations de l'aire du triangle lorsqu'on fait varier la longueur x (en cm) du côté [BC].

A. Découverte d'une fonction
1. a) Calculer la valeur exacte de l'aire de ABC lorsque x = 5, puis lorsque x = 10.

Dans le triangle ABH, rectangle en H. L'hypoténuse est [AB]. Donc d'après le théorème de pythagore, on a :
AB²=AH²+BH²
10²= AH²+2,5²
AH²=10²-2,5²
AH²=100-6,25
AH²=93,75
AH=93,75 (Comme l'on me demande la valeur exacte je laisse la racine carrée)

Aire ABC = (5*93,75)/2
Aire ABC = 2,5 * 93,75 cm² (VALEUR EXACTE)

Je fais la même chose pour x=10, en trouvant 75 avec pythagore. Et pour l'aire d'ABC = 5 * 75 cm².

b) Peut-on avoir x=30 ? Pourquoi ? Dans quel intervalle varie x ?
Non. BH ne peut pas être = 15 car AB est l'hypothénuse de ABH, le côté le plus grand du triangle. BH
2. a) Exprimer AH en fonction de x.
b) On désigne par f(x) l'aire de ABC.
Démontrer que : f(x) = (x/4) * (V400-x²)

a) Dans le triangle AHB, rectangle en H. L'hypoténuse est [AB]. Donc d'après le théorème de pythagore, on a :
AB²=BH²+AH²
10²=(x/2)²+AH²
AH²=10²-(x/2)²
AH²=100-(x²/4)
donc AH=(100-(x²/4))

b) f(x) = (base * hauteur) /2
f(x) = x*(V100 - (x²/4))/2
f(x) = x/2 * (V(400-x²) /4)
f(x) = x/4 * V(400-x²)


c) Calculer f(x) pour chacune des valeurs entières de x prise dans [0 ; 20] : arrondir les résultats au dixième et les présenter dans un tableau.
d) Dans un repère orthogonal bien choisi, placer les points de coordonnées (x;f(x)) du tableau précédent. Donner alors l'allure de la courbe représentant f.

B. Recherche de l'aire maximale
La fonction f admet un maximum pour une valeur x0 de x
1. a) Encadrer x0 par deux entiers consécutifs.
b) Recopier et compléter ce tableau :

| x | 14,1 | 14,11 | 14,12 | 14,13 | 14,14 | 14,15 | 14,16 |
|f(x)| | | | | | | |


Donner un encadrement "plus fin" de x0
2. Notons K le pied de la hauteur de ABC issue de B.
a) Démontrer que l'aire de ABC est égale à 5BK
b) Quelle est la nature du triangle ABC lorsque la longueur BK est maximale ?
c) En déduire la valeur exacte de x0


1) a. Encadrement :14
2) a.Aire(abc)= (B*H)/2
= (AC*BK)/2
= (10*BK)/2
= 5*BK

b.BK atteint son maximum lorsque BK=AB=10
Le triangle est alors rectangle en A