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Sujet du devoir
Bonjour, voici l'énoncer :
Indiquer l'ensemble de définition [i]D[/i] des fonctions numériques de la variable réelle suivantes et indiquer si elles sont paires ou impaires :
a) x ⟼ 2x² + 1/x²
c) x ⟼ x² + 1/x
d) x ⟼ (x² + 1) / x^4 - 1
e) x ⟼ (x² + 1) / x^3 - x
Où j'en suis dans mon devoir
Alors voilà, en faite, j'ai acheté un livre pour la seconde (je rentrai en seconde après les grandes vacances, et j'essaie de m'avancer en maths) dans lequel se trouve l'exercice que j'ai écris ci-dessus, il y a le corrigé, que je vais réécrire ci-dessous, mais j'aimerai juste être sûre d'avoir bien compris, donc si vous pouviez me dire si ce que je dis en italique c'est juste ou si j'ai mal compris... :
a) Si f(x) = 2x² + (1/x²), l'ensemble de définition est :
D = R* = ]-∞ ; 0 [⋃] 0 ; +∞ [
Pour tout x de R* (à quoi sert l'étoile ? Car je sais que R signifie réelle mais je ne vois pas l'utilité de "*") , -x ∈ R* et f(-x) = 2(-x)² + (1/(-x)²) = 2x² + (1/x²) = f(x) , donc f est paire.
En fait, le " - " devant les x s'annulent à cause du carré (²), c'est ça ?
c) Si f(x) = x² + 1/x, l'ensemble de définition est :
D= R*
(Pourquoi ne pas faire ]-∞ ; 0 [⋃] 0 ; +∞ [ ?)
Pour tout x de R*, -x ∈ R* et f(-x) = (-x)² + 1/(-x) = x² - 1/x, donc f est ni paire ni impaire.
(Pourquoi n'est-il ni paire ni impaire ? Parce qu'il y a le " - " entre "x" et "1/x" ?)
d) x ⟼ (x² + 1) / x^4 - 1 est définie pour x^4 ≠ 0.
x^4 - 1 = 0 si et seulement si :
(x²)² - 1² = 0
(x²-1)(x+1)(x²+1)=0
x= 1 ou x=-1 (Pourquoi parce qu'il y a -1 et +1 ?)
L'ensemble de définition est:
D= R- {-1 ; 1} = ]-∞ ; -1[⋃]-1 ; 1 [⋃]1 ; +∞[
Pour tout x de D= ]-∞ ; -1[⋃]-1 ; 1 [⋃]1 ; +∞[, - x ∈ D et f(-x) = ((-x)²+1)/(-x)^4 +1 = (x² +1)/x^4+1) = f(x)
La fonction f est paire. (Tant que tout est positif c'est paire en fait ?)
e) x ⟼ (x² + 1) / x^3 - x est définie pour x^3 - x ≠ 0
(si x^3 = 2^3 = 8
et que x = 8, ça fait 8-8, donc ça fait 0, donc pourquoi mettre ≠ ?)
x^3 - x = 0 si et seulement si:
x(x²-1)=0
x(x-1)(x+1)=0
x=0 (pourquoi 0 ?.. pourquoi pas +1?) ou x=-1
Je ne vais pas mettre la définition puisque j'y ai compris.
Merci d'avoir tout lu et j'espère que vous viendrez à mon aide !
4 commentaires pour ce devoir
d) f(x)=(x² + 1) / x^4 - 1 est définie pour x^4 -1 ≠ 0.
x^4 - 1 = 0 si et seulement si :
(x²)² - 1² = 0
(x²-1)(x²+1)=0
(x-1)(x+1)(x²+1)=0
un produit de facteurs est nul ssi l'un de ses facteurs est nul
x-1 =0 soit x=1
ou
x+1=0 soit x=-1
ou
x²+1=0 pas de solution,x²=-1 impossible
f est paire quand f(-x) =f(x)
(si x^3 = 2^3 = 8
et que x = 8, ça fait 8-8, donc ça fait 0, donc pourquoi mettre ≠ ?)
on n'a pas à la fois x=2 (avec x^3 =2^3 ) et x=8
pour savoir qd le dénominateur s'annule ,on résout
x^3 - x = 0 si et seulement si:
x(x²-1)=0
x(x-1)(x+1)=0
ce qui donne 3 solutions 0,+1 et -1
D =R - {-1 ;0 ;1}
Ils ont besoin d'aide !
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R* =R-{0} = ]-∞ ; 0 [⋃] 0 ; +∞ [
R* est la façon la + rapide d'écrire l'ensemble des réels moins 0
a)-x et x ont le mm carré x²
(-x)² =x²
f(-x)=f(x) donc f est paire
c)f(-x) #f(x)
f(-x)# -f(x)
donc f ni paire ni impaire
Merci beaucoup pour ton aide !