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Sujet du devoir
ABC sont des sommets d'un triangle équilateral de coté 3cm
1°) m est nombre réel non nul et G le barycentre (A,1) (B,-1) (C, m)
Trouver les valeurs de m pour lesquels ABCG sont les sommets d'un parallelogramme
2°) Un suppose que maintenant m=1 aprés avoir choisi sur un repére convenable alors definir la ligne de \lambda des points m du plan telsque MA^{2} -MB^{2} +MC^{2} = K
3°) Trouver K pour B appartient à \lambda
12 commentaires pour ce devoir
Pour la question 2) est ce qu'on a une précision sur k?
non du tout
A mon avis ce n'est pas un devoir de seconde.
Te serais-tu trompé de catégorie.
Ha bon c'est notre qui nous a donné cet exo
2) L'ensemble cherché est un cercle si k+1>0, c'est l'ensemble {C'} où C' est le symétrique de C par rapport à (AB) si k=-1 et l'ensemble vide si k<-1
Ici j'ai pas bien compri
3) B appartient à lambda équivaut à k=18
de meme que ici
Bonsoir.
Où en es-tu dans ton devoir?
Pour les valeurs de m: c'est indiqué dans ce que j'ai écrit à savoir que m peut prendre toutes les valeurs réelles non nulles.
Quel que soit m réel non nul, ABCG sera un parallélogramme.
Soit G le barycentre des points (A, 1) (B,-1) (C, m). Si G existe alors1-1+m≠0. Ainsim≠0.
Si ABCG est un parallélogramme alors(AB ) ⃗=(CG ) ⃗.
Ainsi
(AG) ⃗+(GB ) ⃗=(CG ) ⃗
-(GA) ⃗+(GB) ⃗-(CG) ⃗=0 ⃗
(GA) ⃗-(GB) ⃗+(CG) ⃗=0 ⃗
(1)×(GA) ⃗+(-1)×(GB) ⃗+(-1)×(GC) ⃗=0 ⃗
Donc
G est le barycentre des points (A, 1) (B,-1) (C, -1)
D’où
m=-1
2.
Soit
〖MA〗^2-〖MB〗^2+〖MC〗^2= K
((MA ) ⃗ )^2-((MB) ⃗ )^2+((MC) ⃗ )^2= K
((MG) ⃗+(GA ) ⃗ )^2-((MG) ⃗+(GB ) ⃗ )^2+((MG) ⃗+(GC ) ⃗ )^2= K
((MG) ⃗+(GA ) ⃗ )^2-((MG) ⃗+(GB ) ⃗ )^2+((MG) ⃗+(GC ) ⃗ )^2= K
〖MG〗^2+2×(MG) ⃗×(GA ) ⃗+〖GA〗^2-(〖MG〗^2+2×(MG) ⃗×(GB ) ⃗+〖GB〗^2 )+(〖MG〗^2+2×(MG) ⃗×(GC ) ⃗+〖GC〗^2 )=K
〖MG〗^2-〖MG〗^2+〖MG〗^2+2×(MG) ⃗×(GA ) ⃗-2×(MG) ⃗×(GB ) ⃗+2×(MG) ⃗×(GC ) ⃗+〖GA〗^2 〖-GB〗^2+〖GC〗^2=K
〖MG〗^2+2×(MG) ⃗×((GA ) ⃗-(GB ) ⃗+(GC ) ⃗ )+〖GA〗^2 〖-GB〗^2+〖GC〗^2=K
Or
(GA ) ⃗-(GB ) ⃗+(GC ) ⃗=0 ⃗ d^' où 2×(MG) ⃗×((GA ) ⃗-(GB ) ⃗+(GC ) ⃗ )=0
ABC est un triangle équilatéral de côté 3cm et ABCG est un parallélogramme donc un losange. Alors GA = GC =AB=BC= 3 cm et mes ((BAG) ̂ )=π/3+π/3=2π/3
Donc 〖GB〗^2=〖GA〗^2+〖AB〗^2-2 AG ×AB×cos((BAG) ̂ )=3^2+3^2-2×3×3×(-1/2)
〖GB〗^2=27
〖MG〗^2+2×(MG) ⃗×((GA ) ⃗-(GB ) ⃗+(GC ) ⃗ )+〖GA〗^2 〖-GB〗^2+〖GC〗^2=K
〖MG〗^2+3^2-27+3^2=K
〖MG〗^2=K+9
Ainsi suivant les valeurs de K, on a :
k=-9 alors 〖MG〗^2=0 d’où M=G
Alors l’ensemble λ est le point G
k<-9 alors〖MG〗^2<0, ce qui est impossible
Alors l’ensemble λ est vide
k>-9 alorsMG=√(K+9),
Alors l’ensemble λ est le cercle de centre G et de rayon√(K+9).
Soitλ, le cercle de centre G et de rayon √(K+9)
Le point B appartient à λ si BG=√(K+9)
〖BG〗^2=K+9
K=〖BG〗^2-9=27-9
K=18
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Bonsoir.
1) Utilise la caractérisation vectorielle des parallélogrammes:
ABCG est un parallélogramme équivaut à vecteur BA = vecteur CG.
Pour la suite je noterai AB pour vecteur AB et 0 pour noter le vecteur nul.
Tu pars de la relation vectorielle déduite de la donnée: G barycentre de (A,1) (B,1) et (C,m)
Comme G barycentre de (A,1) (B,1) et (C,m) alors pour tout point M du plan on a :
MG=MA-MB+mMC. En particulier pour le point C, on a:CG=CA-CB+mCC
En simplifiant, on obtient CG=BA.
Ce qui a été fait est valable pour toute valeur de m non nulle, donc ABCG est un parallèlogramme pour toute valeur réelle m non nulle.
Merci
les valeurs de m ????