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Sujet du devoir
(O,I,J) est un repère orthonormé.
M est un point du quart de cercle IJ de centre O.
"Alpha" est la mesure en degrés de l'angle IOM.
A. Cas particuliers
1."Alpha"= 30°
a)Justifier que le triangle OMJ est équilatéral.
b)Calculer sa hauteur MK.
c)En déduire les coordonnées du point M dans le repère (O,I,J)
2."Alpha"=60°
a)Faire une figure adaptée à ce cas et préciser la nature du triangle OIM
b)En déduire les coordonnées du point M
3."Alpha"=45°
a)Faire une nouvelle figure et montrer que le quadrilatère OHMK est un carré.
b)Calculer la longueur de ses côtés et en déduire les coordonnées de M.
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Où j'en suis dans mon devoir
Je viens tout juste de commencer l'exercice est je bloque sur la première question.
Merci d'avance à celui qui pourra m'aider.
23 commentaires pour ce devoir
Bonjour,
1a)
L’angle HOI vaut 90°, et l’angle MOH=alpha=30°
Vous pouvez alors calculer l’angle MOJ.
Ensuite vu que OI et OM sont des rayons du même cercle, le triangle OMJ est au moins isocèle. Que peut-on dire alors sur les angles MJO et JMO ?
La somme des angles d’un triangle est égal à ???
Donc l’angle MJO = ??? et JMO= ???
Quel est le triangle avec ces mesures d’angles ?
1b)
Avec les propriétés de la hauteur d’un triangle équilatéral, vous connaissez OK (la longueur)
OM est le rayon du cercle =1.
Avec Pythagore, MK est calculable.
1c)
Le point M a pour coordonnées les longueurs ( OH ; OK ).
Vous pouvez déduire ces deux longueurs des calculs précédents
Répondez aux questions et on fait la suite après.
Voilà ce que j'ai mis pour la 1.a
1. a. L’angle HOI vaut 90°, et l’angle MOH (alpha) vaut 30°. Donc MOJ = 60° Puisque 90-30=60. Ensuite vu que OI et OM sont des rayons du même cercle, le triangle OMJ est au moins isocèle. Comme la somme des angles d’un triangle est égal à 180° et comme les angles MJO et JMO sont à l’intersection avec le rayon et le cercle donc ils ont la même valeur. Vu qu’il nous reste 120° pour que la somme du triangle soit égale à 180° alors 120/2=60°. Le triangle est bien équilatéral.
oui , c'est bien
pour être super précis : "Puisque les trois angles sont égaux, alors le triangle est bien équilatéral".
passons à la suite.
Alors j'ai pas trop bien compris pour la b mais je pense à quelquechose mais je ne sais pas si c'est juste alors:
On dit: Admettons que les points O(0 ;0) I(0 ;1) et J(1 ;0). On cherche à savoir la longueur du segment MK donc grâce a la trigonométrie on cherche tout d'abord la longueur OM avec les données (HOM=30° et OI=1) puis on recherche MK toujours avec la trigo avec comme donnée JOM= 60° et OM=XXX
Je ne peux pas dire que c’est faux mais c’est ce qui est demandé de faire dans la partie B.
Pour faire cette partie, il faut oublier les cosinus et sinus.
Juste une remarque, M est sur le cercle donc OI=OM=1.
b)
Reprenons ,
D’après les propriétés d’un triangle équilatéral, où est situé le point K sur le segment [OI] ?
Que vaut OK alors ?
Voilà ma réponse:
1b) Admettons que les points O(0 ;0) I(0 ;1) et J(1 ;0). On cherche à savoir la longueur du segment OK. D’après les propriétés d’un triangle équilatéral, OK = OK= OI/2 donc les coordonnées de K = I/2 soit (0;1)/2=(0;0,5)/2 donc OK=0,5. On recherche maintenant MK.
Dans le triangle OKM rectangle en K, alors d’après le théorème de Pythagore :
OM^2=KO^2+KM^2
1^2=〖0,5〗^2+KM^2
KM^2=1-0.25
KM= √(1-0.25)
KM= √3/2
Oui, c’est bon.
Donc quelles sont les coordonnées de M ?
Voilà la réponse 1c)
1c) Sachant que le point K a pour coordonnée (0,5 ;0) et que H(0 ; √3/2) et que le point M et le point d’intersection alors M(0,5 ; √3/2)
Maintenant je m'attaque à la figure du petit 2.
1c)
Comme la figure est un peu flou, Quel est la lettre au dessus de K? Je pense que c'est J.
Si c'est J, vous avez inversé les coordonnées K (0 ; 0.5 ) et H (√3/2 ; 0) et M ......
2)
Pour cette question, il faut faire le même raisonnement que pour la 1).
Trouvez un triangle équilatéral.
Faites les calculs pour MH
Bon voilà j'ai fait les figures de la question 2 et 3 (Jje les ai enregistré dans ce topic). Maintenant doit-je reciter la propriété ou j'attaque directement par les calcules ?
Avez-vous vu ma remarque sur les coordonnées de M pour alpha=30° ?
2)
Précisez quel est le triangle équilatéral; en ajoutant qu'il faut faire pour le démontrer le même raisonnement que pour la question précédente.
Ensuite faites les calculs
3)
C’est plus simple l’énoncé dit « OHMK est un carré. » ; OM=1 est la diagonale du carré.
Pour les coordonnées de M, il faut calculer la longueur du carré avec Pythagore.
Ok je fait ca.
Effectivement j'ai repris la question 1c donc ca donne: 1c) Sachant que le point K a pour coordonnée (0;0,5) et que H( √3/2 ;0) et que le point M et le point d’intersection alors M( √3/2 ;0,5).
AH en reprennant ce que j'ai fait j'ai vu une petite erreur pour la 1a)
J'avais mis : L’angle HOI vaut 90°, et l’angle MOH (alpha) vaut 30°.
C'est l'angle HOJ
ok , nous sommes d'accord c'est J qui est en haut de la figure.
Continuez, vous êtes sur la bonne voie pour réussir.
Voiçi la question 2b)
2b) L’angle HOJ vaut 90°, et l’angle MOH (alpha) vaut 60°. Donc MOJ = 30° Puisque 90-60=30. Ensuite vu que OI et OM sont des rayons du même cercle, le triangle OMI est au moins isocèle. Comme la somme des angles d’un triangle est égal à 180° et comme les angles OMI et OIM sont à l’intersection avec le rayon et le cercle donc ils ont la même valeur. Vu qu’il nous reste 120° pour que la somme du triangle soit égale à 180° alors120/2=60°. Puisque les trois angles sont égaux, alors le triangle est bien équilatéral.
Admettons que les points O(0 ;0) I(0 ;1) et J(1 ;0). On cherche à savoir la longueur du segment OH. D’après les propriétés d’un triangle équilatéral, OH=OI/2 donc les coordonnées de H = I/2 soit (0;1)/2=(0;0,5)/2 donc OH=0,5. On recherche maintenant MK.
Dans le triangle OKM rectangle en K, alors d’après le théorème de Pythagore :
OM^2=HO^2+HM^2
1^2=〖0,5〗^2+HM^2
HM^2=1-0.25
HM= √(1-0.25)
HM= √3/2
Sachant que le point H a pour coordonnée (0,5;0) et que K(0 ; √3/2) et que le point M et le point d’intersection alors M( 0,5; √3/2 ).
Presque oui!
je pense à un copier coller
vous avez ecrit : "On recherche maintenant MK"
c'est plutot : on recherche MH ou HM au choix.
sinon je n'ai pas vu d'autre "erreur".
Ah oui effectivement merci !
Oui j'ai un peu copier coller en changer les droites puisque c'est un peu près pareil mais de l'autre coté .
Mmaintenant j'ai attaquer la 3a mais je vois pas comment démontrer que le quadrilatère OHMK est un carré
Je viens juste de voir qu’il faut prouver que OHMK est un carré.
On sait que (OH)//(MK) et (OK)//(MH).
Il reste à prouver que OK=OH et que HK=OM ou (HK) et (OM) sont perpendiculaire.
Il faut penser angles inscrit (deux droites parallèles coupées par une troisième ….).
Avec les angles , vous arriverez normalement à prouver tout cela .
N’oubliez pas les propriétés d’un triangle isocèle.
On sait que (OH)//(MK) et (OK)//(MH). On sait également que les angles OHM et MKO mesurent 90°. Comme α mesure 45° et que α ∈IOJ et que IOJ = 90 ° donc IOJ=2*α alors la droite OM coupe l’angle IJ en deux parties égales alors (MI) ̂=(MJ) ̂ donc les deux diagonales MO et KH qui traversent le quadrilatère OKMH sont égaux. Alors le quadrilatère OKMH est un carré.
C’est une histoire d’angles alternes-internes.
Comme (OH)//(MK) , OM coupent ces deux droites en formant des angles ; certains sont égaux. ( http://www.ilemaths.net/maths_5_angles_cours.php )
HOM = 45° => OMK=45° d’après l’histoire des angles internes
HOK = 90° donc MOK = HOK – HOM = 90 – 45 = 45°
Quel est la nature du triangle MOK ?
Que pouvez vous en déduire de OK et KM ? Calculez OK et KM.
Vous pouvez faire la même démo pour le triangle MOH et trouver OH et MH
Comme KOH = 90° , vous pouvez calculer KH et vérifier si KH=OM=1
Et ainsi conclure
Ils ont besoin d'aide !
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OM et OJ ont même longueur; le sinus de alpha=30 est la moitié de OJ; on a OK = KJ; le triangle OMK rectangle en K et le triangle JKM rectangle en K sont semblables; JM=OM=OI.
Le calcul de MK est simple; on sait OK et OM; OK=MH; le cosinus de alpha=30 est OH, que vaut aussi MK; on a MK=racine(3)/2.
M(racine(3)/2,1/2).
Meme démarche pour la suite, avec sin(45) et cos(45).
Pourquoi cos(45) ? On ne demande pas de calculer le cosinus.