- Partage ce devoir avec tes amis !
Sujet du devoir
Bonjour voici mon exercice,
Uo= 1 Un+1=(1/20)Un(20-Un)
1. Soit f la fonction définie sur [O,20] par f(x)=(1/20)x(20-x)
a) Etudier le sens de variations de f sur [0;20]
b) En déduire que l'intervalle [0;20] est stable par f.
2.a) Calculer U1 et U2
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, O<Un<Un+1<10
c) En déduire que la suite (Un) est convergente
d) Déterminer la limite l de la suite (Un)
Où j'en suis dans mon devoir
Mon travail:
1)
f'(x)=2-(2/10)x
Tableau de variation:
la fonction f est positive de 0 à 10 , négative de 10 à 20
f' est croissante 0 à 10 et decroissante de 10 à 20
f(0)=0 f(10)=10
2)
D'après le tableau de variation, on constate que pour x E [0;10] 0<f(x)<10 d'où f(x)E[0;10] donc I est stable par f
2)a.. U1=19/10
U2=3439/1000
Pour le b j'ai comencé à faire mais je n'arrive pas à finir
Innitialisation:
n=0
Uo=1
U1=19/10
0<1<18/10<10 donc 0<Uo<U1<10
les questions suivantes non plus je n'arrive pas à faire, j'aurais besoin d'aide s'il-vous-plait , merci d'avance.
12 commentaires pour ce devoir
ah non je me suis trompé dans l'énoncé, c'est (1/10)x(20-x)
Dans ce cas ta réponse à la question 1)a) est correcte.
Est ce que par hasard dans la question 1)b) l'intervalle est [0;10] et non pas [0;20]?
1) a) et b) OK
2) a) OK
b) Tu as bien commencé (tu mentionnes au début que tu fera un raisonnement par récurrence).
Maintenant l'étape de l’hérédité :
hypothèse de récurrence : supposons que 0<Un<Un+1<10 pour un n fixé.
Montrons que 0<Un+1<Un+2<10.
On a 0<Un<Un+1<10 (par hypothèse de récurrence) et on sait que f est croissante sur l'intervalle [0;10]
Donc f(0) < f(Un) < f(Un+1) < f(10)
d'où ....?
Merci, d'où 0<Un<Un+1<10 ?
c) (Un) est croissante et majorée par O, alors la suite (Un) est convergente
d) Or si une suite definie par Un+1=f(Un) est convergente vers l et si f est continue en l alors l=f(l)
d'où lim Un=0
Non
il faut remarquer que f(Un) = Un+1.
Arrivé ici f(0) < f(Un) < f(Un+1) < f(10) tu remplaces f(Un) par Un+1 et f(Un+1) par Un+2 (et f(0) = 0, f(10) = 10 )
d'où 0 < Un+1 < Un+2 < 10
Conclusion 0<Un<Un+1<10 pour tout n de |N
2)c) (Un) est croissante et majorée par 10 ( et non 0)
d) oui c'est bien j'usqu'ici l=f(l)
il faut que tu résous l'équation f(l) = l
donc (1/10)x(20-x) = x
0 est une solution mais il existe une deuxieme solution. Tu la trouves puis tu justifer laquel est la limite de (Un)
Ok donc je trouve 0 et -10 comme solution , je pense que je me suis trompé dans mon calcul:
2x-(1/10)x²=x
-(1/10)x²-x
x(-(1/10)x-1)
2x-(1/10)x²=x
donc x - (1/10)x² = 0 donc x(1 - (1/10)x) = 0 donc x = 0 ou 1-(1/10)x = 0 donc x=0 ou x = 10 (et non -10)
la limite est donc ...? ( car (Un) est croissante, la limite est donc supérieur à toutes les Un pour tout n )
oui lin Un=10 , merci de tout ton aide
Ils ont besoin d'aide !
- Aucun devoir trouvé, poste ton devoir maintenant.
Bonjour,
1) Je pense qu'il y a une erreur sur ta dérivée. Tu peux détailler tes calculs stp?
f(x)= (20/10)x-(1/10)x²
f'(x)=2x-(1/10)x²
f'(x)= 2-(2/10)x
dans ton énoncé f(x)=(1/20)x(20-x)
donc f(x) = (1/20)x*20 - (1/20)x*x = x - (1/20)x²
donc f'(x) = 1 - (1/10)x