Racine carré de l'endomorphisme dérivation

Bonjour,

pour le 1) : nilpotent signifie qu'il existe N tel que u^N = 0.

ici, tu es avec des polynômes de degré n. En les dérivant n+1 fois, tu obtiens toujours 0.

Donc D^(n+1) = 0 et u^.... = 0  ainsi u sera bien nilpotent.

Bonne résolution et dis-nous ce que tu trouves ensuite !

En fait, il est bien ton sujet.. un peu trop faisable pour un n°25 d'une série d'exos, mais bon :

pour le 2) : tu prend les polynômes constants, de base 1 -->  u²(1) = D(1) = 0, donc u(1) appartient à Ker(u), qui a donc une dimension supérieure ou égale à 1

pour le 3) résultat classique sur la composée : pour Q dans Ker(u^p), on a u^(p+1) (Q) = u (u^p(Q)) = 0  alors Ker(u^p) inclus dans Ker(u^(p+1))

pour le 4) ça doit se faire par récurrence

pour le 5) , utilise le 4) et le 1) et ça devrait aboutir à une contradiction

pour le 6, Ker(D) est formé des polynômes constants, donc a pour dimension 1 puis conclus

Bonne résolution à toi !