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Sujet du devoir
bonjour, je dois montrer que pour tout x appartement [0,1]:
1+x+(x^2)/2<= e^x <=1+x+(x^2)/2+x^3
Où j'en suis dans mon devoir
alors premièrement j'ai montré que 1+x+x^2/2 <= e^x
en étudiant les variation de g(x)= 1+x+x^2/2- e^x. il en ait ressorti que g(x) s'annule en x=0 est strictement décroissante sur [0,1] on peut alors déduire que g(x) <= 0 sur [0,1] et donc que 1+x+x^2/2 <= e^x sur [0,1].
pour la deuxième inégalité j'ai procédé de maniere analogique en étudiant la fonction
f(x)= -e^x+1+x+(x^2)/2+x^3 pour monter que 0<=1+x+(x^2)/2+x^3-e^x et donc
e^x <=1+x+(x^2)/2+x^3.
Cependant je n'arrive pas a montrer que f(x) est positif sur [0,1].
4 commentaires pour ce devoir
Si tu essayais avec f''(x) je sais que sa ne sert pas à déterminer le signe mais le sens de variation, donc si tu as une idée du sens de variation tu connaîtras le signe non?
f'(x)=-e^x+3x^2+x+1
f'(x) =0 pour x=0
Ils ont besoin d'aide !
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calcule la dérivée f ' (x) ,détermine son signe sur [0 ;1]
déduis-en le sens de variation de f
calcule f(0) et f(1)
oui c'est ce que j'ai fait, et je trouve f'(x)=-e^x+3x^2+x+1 et je n'arrive pas a déterminer le signe, je trouve f'(x) négatif sur [0,1], et cela ne me permet pas de vérifier l'inéquation.