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Sujet du devoir
sujet:
Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et soit f un endomorphisme non nul de E tel que f²=0. Soit rg(f)=dim(imf)
1. Montrer que Imf est inclu dans ker(f).
2.montrer que rg(f) ≤ 3-rg(f) et en déduire rg(f)
3.Soit e3 un vecteur de E tel que f(e3)≠0 on pose e2=f(e3). Montrer qu'il existe e1 dans ker(f) non colinéaire à e2. On choisit un tel vecteur e1.
4.Montrer que B=(e1,e2,e3) est une base de E.
5.Ecrire la matrice de f dans cette base.
Où j'en suis dans mon devoir
1.On sait que Imf={y∈E, y=f(x)} et kerf={x∈E tel que f(x)=0}. De plus f(f(x))=0 implique que f(x)=0. La seule chose que j'en deduis c'est que f(x)∈ker(f).
2.J'ai pas vraiment avancé, je vois pas d'où partir.
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