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Sujet du devoir
PARTIE A: on considere une suite (Un) définie par U0=2 et pour tout entier naturel n, Un+1=1+0.5Un/0.5+Un. On admet que tous les termes de cette suite sont définis.
1) on considere l'algorithme suivant :
Entree - n est un entier naturel non nul
Initialisation - affecter à U la valeur 2
Traitement et sortie - POUR i allant de 1 à n, affecter à u la valeur 1+0.5U/0.5+U, afficher U
Fin POUR.
reproduire et compléter le tableau suivant en faisant fonctionner cet algorithme pour n=3, les valeurs de U seront arrondies au millième
i 1 2 3
U . . .
3) on considere la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn=Un+1/Un-1
a) justifier que pour tout entier naturel n, V different de 1
b) demontrer que la suite (Vn) est géométrique de raison -1/3
c) calculer V0 puis exprimer Vn en fonction de n, pour tout n E N
d) montrer que pour tout n E N, Un=1+Vn/1-Vn
e) déterminer la limite de la suite (Un)
PARTIE B: on considere la suite (Wn) définie par W0=2 et pour tout n E N, Wn+1=1+3Wn/3+Wn. On admet que tous les termes de la suite sont définis.
1) demontrer par récurrence que pour tout n E N, Wn -1>0
2)a) établie que pour tout nEN, Wn+1 - Wn=(1-Wn)(1+Wn)/(3+Wn)
b) determiner alors le sens de variation de la suite (Wn)
c) en déduire que la suite (Wn) converge
d) determiner alors sa limite
3) écrire un algorithme ayant pour objectif d'afficher la plus petite valeur de n telle que Wn=<1+10^-20
Où j'en suis dans mon devoir
PARTIE A: j'ai fait la question 1)-3)b)-3)c)
PARTIE B: je n'ai rien fait
merci de bien vouloir m'aider
j'ai oublier de préciser que les parties a et b sont indépendantes...
46 commentaires pour ce devoir
bonsoir,
pour la partie B
récurrence : initialisation W0=2 2> 0 vrai
pour l'hérédité tu pars de Wn -1>0 vrai -> hypothèse de récurrence
pour démontrer que Wn > 0
Wn+1=1+3Wn/3+Wn énoncé => tu peux écrire Wn = 1+3 Wn-1 / 3 +Wn-1
et tu te sers de la proposition Wn -1>0 vrai pour faire ta démonstration
pour le 2) Wn+1 - Wn = tu remplaces Wn+1 par la valeur donnée par l'énoncé
1+3Wn/3+Wn - Wn = 1+3Wn/3+Wn - Wn(3+Wn)/(3+Wn)
tu réduis au même dénominateur
=[1+3Wn - Wn(3+Wn) ]/ (3+Wn) =
tu développes et tu retrouves l'identité remarquable que tu factorises pour retomber sur la forme demandée dans l'énoncé.
2 b)pour les variations Wn
etudie le signe de Wn+1 - Wn (en te servant de la question précédente)
Bonjour, je bloque dans la récurrence : j'ai réussi a demontrer que W(n+1)<(1+3Wn)/4
mais je ne parvient pas à faire apparaître le W(n+1)-1>0
On sait que V0 = 1/3 et que V(n+1) = [- 1/3]Vn donc Vn est une suite géométrique de raison - 1/3 et de 1er terme 1/3
Donc Vn = 1/3 x (- 1/3)^n
Justifier que pour tout entier naturel n, Vn est différent de 1
Ici r = - 1/3 Or - 1 < - 1/3 < 1 Donc d'après la formule lim(Vn) quand n tend --> +oo = 0
Donc pour tout entier naturel n, V different de 1
La formule est ici tu comprendra mieux
http://www.bac-de-maths.fr/exercices-corriges-de-ts/limite-d-une-suite-geometrique/211
Mais la question suivante est de determiner que la suite est géométrique de raison -1/3
donc je peut pas utiliser ce résultat sachant que je n'ai pas encore demontrer la géométrie de la suite !
C'est la méthode que j'ai trouvé, je pense pas qu'il y en ai une autre. Après ce que tu peux faire c'est de répondre à la question 3)a) comme j'ai fait puis écrire dans l'autre question " D'après 3)a) la suite Vn est une suite géométrique de raison -1/3 et de premier terme 1/3"
Et la aussi je pense qu'il y a une autre erreur, je pense que la question 3)a) devrait être après la question 3)d)
Sinon c'est impossible d'y répondre (en tout cas pour moi).
Ahhh oui j'ai oublié de te dire que tu t'es trompé sur l'énoncé ce n'est pas Vn = Un + 1 / Un - 1 mais Vn = Un - 1 / Un + 1
Je ne me suis pas trompée, l'énoncé est bien écrit comme ça.
Dans ce cas là, il y a une erreur dans l'énoncé. La question 3)b) nous demande de démontrer que la suite Vn est géométrique de raison - 1/3. Ce qui veux dire que Vn est une suite géométrique de raison - 1/3.
J'ai calculer les valeurs de Un de 0 à 3, sa donne :
U0 = 2 ; U1 = 4/5 ; U2 = 14/13 ; U3 = 40/41
Pour Vn = Un - 1 / Un + 1, sa donne :
V0 = 1/3 ; V1 = - 1/9 ; V2 = 1/27 ; V3 = -1/81
Pour déterminer la raison, on calcule V(n+1)/Vn, sa donne V2/V1 = - 1/3.
On trouve bien la valeur qui est donné dans l'énoncé.
Pour Vn = Un + 1 / Un - 1, sa donne :
V0 = -3 ; V1 = 9 ; V2 = -27 ; V3 = 81
On calcule la raison de la même manière : V2/V1 = -3
C'est pas la valeur qui est donné dans l'énoncé donc la bonne formule est Vn = Un - 1 / Un + 1.
pour l'hypothèse de récurrence es tu d'accord jusque là ?
tu peux écrire Wn = 1+3 Wn-1 / 3 +Wn-1
on s'appuie sur les données de l'énoncé Wn+1=....
tu as posé une hypothèse de récurrence : Wn -1>0 vrai
tu dois t'en servir, c'est le principe de ce raisonnement
j'ai démontré que le rang 0 est vrai (initialisation)
je suppose que P est vraie au rang n
je démontre que Pn+1 vraie sachant que P est vraie au rang n
tu n'as pas besoin de faire ressortir W(n+1)-1>0
le principe du raisonnement par récurrence c'est si pn est vraie alors pn+1 l'est aussi. (Pn implique Pn+1)
donc Wn = 1+3 Wn-1 / 3 +Wn-1, mais on sait que Wn -1>0 vrai
donc 3Wn-1 >0 par conséquent 1+ 3Wn-1 >0
idem pour le dénominateur
pour le sens de variation
(1-Wn)(1+Wn) < 0 (car à signe l'extérieur des racines = signe de a et a est négatif -x²)
(3+Wn) >.0
donc le signe de Wn+1 -Wn est négatif
par conséquent la suite Wn est ....................
Je n'arrive absolument pas a faire la recurrence
est ce que je dois partir de l'hypothèse de récurrence pour arriver à w(n+1)-1>0 ?
Finalement j'ai compris comment faire ;)
énoncé Wn+1=1+3Wn/3+Wn
1) demontrer par récurrence que pour tout n E N, Wn -1>0
initialisation -> Wo = 2 2>0 donc Po vraie
hérédité Il faut que tu te serve de l'énoncé
principe de récurrence tu prends Wn -1>0
ta démonstration s'axe sur Wn -1>0 ( je démontre W n+1 sachant que Wn -1>0 vraie)
Wn+1=1+3Wn/3+Wn => Wn = 1+3 Wn-1 / 3 +Wn-1
1+3 Wn-1 > 0 car on a supposé Wn-1> 0 donc si on multiplie par 3 et qu'on ajoute 1 , ça sera toujours positf
3+Wn-1 > 0 car Wn-1> 0 , donc si j'ajoute 3 ça sera toujours positf
+/+ = positif je ne vois pas ce qui te bloque, tu appliques le principe de récurrence du cours.
donc Wn > 0 c'est tout tu as démontré l'hérédité
après tu conclus
ok, pour le 2)a) partie B est ce ok ?
dans un message précédent je t'ai indiqué la méthode, tu dois la retrouver en parcourant mes réponses
idem pour le b)
pour le c) théorème des suites décroissantes et minorées
Je suis bloquée a la question 3) où il faut écrire un algorithme
ok initialise n
0->n
n+1->n
sers toi de la boucle while while w>1+10^-20
pense à initialiser w 2-> w
c'est bon, tu as réussi ?
que trouves tu en le faisant fonctionner ?
n?
Le While c'est le tant que ?
Et je trouve n=31, est-ce correct ?
moi je trouve 66
Mon algorithme :
entree : n est un entier naturel
Initialisation : affecter à w la valeur 2, affecter à n la veulent 0
Traitement : tant que w>1+10^-20, n prend la valeur n+1, w prend la valeur (1+3w)/(3+w), fin tant que
sortie : afficher n
y a-t-il une erreur ?
pour la limite, tu as bien trouvé 1
tu as quelle calculatrice ?
0->n
2->w
while w >1+10^-20
n+1->n
(1+3*w) /( 3+w ) ->w
endWhile
disp n
endPrgm
J'ai une TI-82 stats
et en refaisant votre programme, je trouve toujours n=31
il me semble que nous avons la même chose
peut-être le signe entre 3*w ?
moi j'ai un autre modèle; mais une texas aussi
je viens de le refaire j'ai toujours n = 66
et pour w =221360928884514619393 / 221360928884514619391 (sur un autre programme)
tu as mis le signe * entre 3 et w ?
désolée à part cela, je ne vois pas où est l'erreur de ton côté ou du mien...
Même en mettant le multiplier je trouve n=31
tu as mis > ou > = ?
les parenthèses?
c'est bizarre, on devrait avoir la même chose...
J'ai mis >
non c'est >= (Wn=<1+10^-20 énoncé)
mais j'ai essayé avec >, j'ai tjs 66
pour le signe - (tu as fais la touche du bas ?)
la puissance entre parenthèses?
je ne vois vraiment pas
J'obtiens toujours la même chose...
mystère ...
tu veux voir autre chose pour tes exos ?
(j'ai vérifié n =31 ça correspond à une puissance -10
je connais bien la syntaxe des programmes pour mon modèle de calculatrice, mais il y a peut être une différence avec la ti82 qui fausse le programme et le résultat)
Ce n'est pas grave, je rendrais l'algorithme comme ça ;)
mais par contre, je ne parvient pas a faire les question 3a) et 3e) de la partie A
Si vous pouvez m'aider, merci par avance
3a) Vn =Un+1/Un-1
vn est différent de 1 si Un+1 différent de Un-1
(si Un+1 = Un-1 on aurait vn =1)
raisonnement par l'absurde
Un +1 = Un -1 Un -Un = -1 -1 0 = -2 impossible
donc Un +1 différent de Un -1 par conséquent Vn différent de 1
Bien vue je pensais que c'était impossible
b) démontrer que la suite (Vn) est géométrique de raison -1/3
V n+1 = u(n+1) +1 / u(n+1) -1
tu remplaces u(n+1) par sa valeur (je note u = Un)
numérateur -> ( 1+0,5u/ 0.5 +u + 1 (0.5 +u)) / 0.5+u on réduit au même dénominateur
dénominateur -> ((1+0.5u/0.5u) - 1(0.5+u) ) / 0.5+u
après calcul et simplification tu as 1.5( 1+u)/ -0.5( u-1) = - 3 * Vn
d'où Vn = -1/3 V(n+1)
NB : ça devrait être l'inverse d'après l'énoncé V(n+1)= -1/3 Vn
Merci, mais maintenant je bloque encore sur la question 3e).
Il y a une erreur dans l'énoncé, le résultat que tu trouve V(n+1) = - 3 x Vn est bon mais la raison est - 3 et pas -1/3.
Il faut commencer à partir de cette formule.
Vn = (Un - 1) / (Un + 1) et pas Vn = (Un + 1) / (Un - 1)
Pour la d)
Vn = (Un - 1) / (Un + 1)
(Un + 1) x Vn = Un - 1
Un x Vn + Vn = Un - 1
Un x Vn - Un = - 1 - Vn
Un x (Vn - 1) = - 1 - Vn
Un = (- 1 - Vn) / (Vn - 1)
Un = (1 + Vn) / (1 - Vn)
Qu'as tu trouvé pour la c) ?
J'ai trouvé que :
pour tout n E N, Vn=(1/3)*(-1/3)^n
3e)
lim Un = 1
Mais je ne comprends pas comme expliquer la limite, enfin faire le détail des calculs.
Pour la e)
Vn = 1/3 x (- 1/3)^n
On sait que lim Vn quand n tend vers +oo est 0 car - 1 < - 1/3 < 1 et que Un = (1 + Vn) / (1 -Vn)
Donc lim Un quand n tend vers +oo est 1
N'oublie pas de corriger t'es résultats si tu n'as pas utilisé cette formule Vn = (Un - 1) / (Un + 1)
ok Un+1=1+0.5Un/0.5+Un énoncé
on appelle l la limite
l est la limite si l est solution de l'équation => l = f(l)
l = 1 + 0.5 l / 0.5 + l => l( 0.5 +l ) = 1 +0.5l
tu arrives à l ² - 1 = 0
on retient la valeur positive l = 1
si n est impair la limite est 1 par valeur inférieure l< 1
si n est pair la limite est 1 par valeur supérieure l>1
Merci pour votre aide. J'ai fini cet exercice maintenant :)
Ils ont besoin d'aide !
- Aucun devoir trouvé, poste ton devoir maintenant.
J'ai une petite question pour la 3) Vn = U(n+1) / U(n-1) ou Vn = Un + 1 / Un - 1 ?
Il s'agit de Vn=Un +1/Un -1