Démonstrations par récurrence (hérédité pb)

Publié le 31 août 2014 il y a 9A par Anonyme - Fin › 3 sept. 2014 dans 9A
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Sujet du devoir

Bonjour à tous je suis en TS, et je révise pour un DST qui arrive très bientôt sur les démonstrations par récurrence voici l'énoncé de l'exercice :

Pour tout entier n, on considère la propriété : 

P(n) : 2^n > (ou égal) (n+1)²

1) Montrer que la propriété P(n) est héréditaire à partir du rang 2 
2)Pour quelles valeurs de n, cette propriété est-elle vraie ?

Où j'en suis dans mon devoir

1) On suppose que P(n) est vraie pour tout n>(ou égal) 2
Montrons que P(n+1) est vraie

P(n+1) : 2^n * 2 > (n+2)²
Et là je suis bloqué je ne sais pas quoi faire, j'ai essaye de développer (n+2)² mais ca ne mène à rien :/ 

2) C'est la phase d'initialisation qu'il faut vérifier non ?


Je vous remercie d'avance pour vos réponses.




10 commentaires pour ce devoir


Anonyme
Posté le 31 août 2014

Pour la 1), c'est normal que tu ne sache pas quoi faire avec ton P(n+1), parce que c'est à ce résultat qu'il faut que tu arrives. Il faut partir de P(n)=2^n>=(n+1)².

P(n) :       2^n>=(n+1)²
                   2^n*2>=(n+1)²*2
                         ...
                   2^n*2 >= (n+2)²
                         ...
P(n+1) : 2^(n+1)>=((n+1)+1)²

Pour la 2), tu es sur la bonne voie. ;)

Anonyme
Posté le 31 août 2014

D'accord merci beaucoup :)

Anonyme
Posté le 31 août 2014

As-tu réussi à finir ton exercice ? Si oui, tu peux marqué ce problème comme résolu. ;)

Anonyme
Posté le 1 sept. 2014

Je viens de relire la réponse et je ne comprends pas, comment tu trouves (n+1)²*2 = (n+2)²

 

Anonyme
Posté le 1 sept. 2014

Ne me fais pas dire ce que je n'ai pas dit, et ne me fais pas démontrer l'indémontrable. :P
En gros, (n+1)²*2 ≠ (n+2)²
Mais alors, tu te demandes comment faire ?

Développe ton expression puis en la refactorise-la. Tu verras que (n+1)²*2 est égal à (n+2)²+n²-2. Tu es censé remarquer que n²-2, sachant que n>=2, est positif. Donc tu peux en conclure que (n+1)²*2 >= (n+2)².

Tu te retrouves avec l'inéquation  2^n*2 >= n+1)²*2 >= (n+2)².
Tu as juste à enlever l'expression du milieu pour retomber sur ce que tu cherches. ;)

Anonyme
Posté le 31 août 2014

Hérédité: tu sais que pn est vraie donc que 2^n>ou=(n+1)²

Donc 2^n*2>ou=(n+1)² *2

soit encore 2^(n+1)>ou=2n²+4n+2

tu dois montrer qu'alors pn+1 est vraie soit que 2^(n+)>ou=(n+2)²

soit 2^(n+1)>ou=n²+4n+4

il te suffit alors d'étudier le signe de (2n²+4n+2)-(n²+4n+4) pour n>ou=2

pour pouvoir conclure

Initialisation: tu dois trouver a partir de quel rang la propriété est vraie

par exemple pour n=2 , elle est fausse car 2^2=4 et (2+1)²=9

essaies pour les valeurs suivantes  3,4 ....6

Anonyme
Posté le 1 sept. 2014

(2n²+4n+2)-(n²+4n+4) = n²-2 pour n>ou=2 c'est positif, mais j'arrive pas à comprendre comment je peux conclure comme ça ?

 

 

Anonyme
Posté le 31 août 2014

Bonsoir, 

Je suis désolée mais je me demande si il n'y a pas une erreur dans ton énoncé. 

En effet, dans ma méthode (mais c'est une méthode de prépa, peut être un peu différente donc), mais je commence par voir ce qu'il en est pour la première valeur prise par n. 

Or ici, si je prends n=2, alors j'aurais : P(2) : 2² >(ou égal) (2+1)² 

<=> 4 > (ou égal) 27 ce qui n'a aucun sens. :/

Anonyme
Posté le 1 sept. 2014

Non, aucune erreur dans la recopie de l'énoncé à mon sens. ;)

Anonyme
Posté le 1 sept. 2014

Pour Nicolas

tu écris "(2n²+4n+2)-(n²+4n+4) = n²-2 pour n>ou=2 c'est positif, mais j'arrive pas à comprendre comment je peux conclure comme ça ?"

n²-2>0 pour n>ou=2 donc si Pn est vraie , c'est à dire 2^n>=(n+1)² alors 2^(n+1)>=(n+2)² donc pn+1 vraie

Pour Margot: il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé, on demande dans la question 2 à partir de quelle valeur de n la propriété est vraie, on trouve n=6, c'est l'étape d'initialisation


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