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Sujet du devoir
Bonjour à tous je suis en TS, et je révise pour un DST qui arrive très bientôt sur les démonstrations par récurrence voici l'énoncé de l'exercice :
Pour tout entier n, on considère la propriété :
P(n) : 2^n > (ou égal) (n+1)²
1) Montrer que la propriété P(n) est héréditaire à partir du rang 2
2)Pour quelles valeurs de n, cette propriété est-elle vraie ?
Où j'en suis dans mon devoir
1) On suppose que P(n) est vraie pour tout n>(ou égal) 2
Montrons que P(n+1) est vraie
P(n+1) : 2^n * 2 > (n+2)²
Et là je suis bloqué je ne sais pas quoi faire, j'ai essaye de développer (n+2)² mais ca ne mène à rien :/
2) C'est la phase d'initialisation qu'il faut vérifier non ?
Je vous remercie d'avance pour vos réponses.
10 commentaires pour ce devoir
Hérédité: tu sais que pn est vraie donc que 2^n>ou=(n+1)²
Donc 2^n*2>ou=(n+1)² *2
soit encore 2^(n+1)>ou=2n²+4n+2
tu dois montrer qu'alors pn+1 est vraie soit que 2^(n+)>ou=(n+2)²
soit 2^(n+1)>ou=n²+4n+4
il te suffit alors d'étudier le signe de (2n²+4n+2)-(n²+4n+4) pour n>ou=2
pour pouvoir conclure
Initialisation: tu dois trouver a partir de quel rang la propriété est vraie
par exemple pour n=2 , elle est fausse car 2^2=4 et (2+1)²=9
essaies pour les valeurs suivantes 3,4 ....6
(2n²+4n+2)-(n²+4n+4) = n²-2 pour n>ou=2 c'est positif, mais j'arrive pas à comprendre comment je peux conclure comme ça ?
Bonsoir,
Je suis désolée mais je me demande si il n'y a pas une erreur dans ton énoncé.
En effet, dans ma méthode (mais c'est une méthode de prépa, peut être un peu différente donc), mais je commence par voir ce qu'il en est pour la première valeur prise par n.
Or ici, si je prends n=2, alors j'aurais : P(2) : 2² >(ou égal) (2+1)²
<=> 4 > (ou égal) 27 ce qui n'a aucun sens. :/
Non, aucune erreur dans la recopie de l'énoncé à mon sens. ;)
Pour Nicolas
tu écris "(2n²+4n+2)-(n²+4n+4) = n²-2 pour n>ou=2 c'est positif, mais j'arrive pas à comprendre comment je peux conclure comme ça ?"
n²-2>0 pour n>ou=2 donc si Pn est vraie , c'est à dire 2^n>=(n+1)² alors 2^(n+1)>=(n+2)² donc pn+1 vraie
Pour Margot: il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé, on demande dans la question 2 à partir de quelle valeur de n la propriété est vraie, on trouve n=6, c'est l'étape d'initialisation
Ils ont besoin d'aide !
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Pour la 1), c'est normal que tu ne sache pas quoi faire avec ton P(n+1), parce que c'est à ce résultat qu'il faut que tu arrives. Il faut partir de P(n)=2^n>=(n+1)².
P(n) : 2^n>=(n+1)²
2^n*2>=(n+1)²*2
...
2^n*2 >= (n+2)²
...
P(n+1) : 2^(n+1)>=((n+1)+1)²
Pour la 2), tu es sur la bonne voie. ;)
D'accord merci beaucoup :)
As-tu réussi à finir ton exercice ? Si oui, tu peux marqué ce problème comme résolu. ;)
Je viens de relire la réponse et je ne comprends pas, comment tu trouves (n+1)²*2 = (n+2)²
Ne me fais pas dire ce que je n'ai pas dit, et ne me fais pas démontrer l'indémontrable. :P
En gros, (n+1)²*2 ≠ (n+2)²
Mais alors, tu te demandes comment faire ?
Développe ton expression puis en la refactorise-la. Tu verras que (n+1)²*2 est égal à (n+2)²+n²-2. Tu es censé remarquer que n²-2, sachant que n>=2, est positif. Donc tu peux en conclure que (n+1)²*2 >= (n+2)².
Tu te retrouves avec l'inéquation 2^n*2 >= n+1)²*2 >= (n+2)².
Tu as juste à enlever l'expression du milieu pour retomber sur ce que tu cherches. ;)