DM maths

Bonjour,

Exercice 3 :

1. La limite de Fk(x) (x->0) est :

lim (x->0) g(x) - lim (x->0) kx² + lim (x->0) 1

C'est facile est rapide à calculer.

(Désolé pour les notations, pas simple sur ce site...)

2. Pour le démontrer, il suffit de décomposer g(x)/x².

Ca nous donne lim (x->0) g(x)/x² = lim (x->0) (g(x)/x) * (1/x)

= lim (x->0) g(x)/x * lim(x->0) 1/x

Et là c'est facile à calculer.

3. Ici, il suffit de modifier l'expression de Fk(x) pour faire apparaître g(x)/x².

Ca nous donne :

Fk(x) = g(x) - kx² +1

=> Fk(x) = g(x)/x² * x² - kx² + 1

=> Fk(x) = x² (g(x)/x² - k) + 1

Et là, la limite se calcule facilement.

Exercice 4 :

Ici, il faut s'imaginer faire les calculs pour comprendre ce qui se passe.

Partie 1 : N = 1024

Déjà tous les chiffres de 1 à 1024 écrit sur la feuille sont égales à : 1024 * (1024 + 1) / 2 (Formule de la somme d'une suite de chiffres consécutifs) ce qui est égal à 524 800.

Quand on les barres deux à deux en écrivant la somme des deux nombres barrés, il nous restera 512 chiffres (1024/2). Mais leur somme fera toujours 524 800.

Idem, quand on barre ces 512 chiffres deux à deux, il restera 256 chiffres, mais la somme de ces 256 chiffres fait toujours 524 800.

Etc...

Combien de fois faudra t'il faire cela afin qu'il ne reste qu'un chiffre ?

Il suffira donc de multiplier 524 800 par ce nombre sans oublier de compter le dernier chiffre pour avoir le total.

Partie 2 : N = 2014

Ici le problème est que 2014 n'est pas une puissance de 2 et donc au bout d'un moment quand on divise par 2 il y aura des virgules...

Pas grave, il suffit de considérer que l'on met un chiffre lorsque le nombre restant de chiffres n'est pas divisible par 2 de côté pour le reprendre lorsqu'il y aura un deuxième chiffre à mettre de côté.

Voici un résumé de la méthode :

1. On écrit les chiffres de 1 à 2014 sur une feuille (Somme = 2014 * (2014 + 1) / 2 = 2 029 105)

2. On barre tous les chiffres deux à deux en écrivant la somme des deux.

Il reste alors 1007 chiffres (2014/2) (Leur somme fait toujours 2 029 105 ; Au total nous en sommes à 4 058 210 (= 2 029 105 * 2))

3. On barre ces 1007 chiffres deux à deux en écrivant la somme des deux.

1007 n'est pas divisible par 2. Il restera donc 503 chiffres + 1 qui reste des 1007.

4. Sur les 503 chiffres restants, on les barre deux à deux en écrivant la somme des deux.

503 n'est pas divisible par 2. Il restera donc 251 chiffres + 1 qui reste des 503.

Mais on regroupe celui qui reste des 503 et celui qui reste des 1007, il nous reste donc 252 chiffres.

La somme de ces deux étapes (3 et 4) est égale à 2 * 2 029 105 = 4 058 210.

Au total nous en sommes donc à 8 116 420 s'il on récupère le total connu à la fin de l'étape 2.

etc... Il suffit de continuer ce raisonnement jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un chiffre, et tu pourras connaître la somme finale.

Espérant que ce soit suffisamment clair. Pas simple à expliquer en écrivant...

Bonne journée,

Askalma