- Partage ce devoir avec tes amis !
Sujet du devoir
Bonjour à tous !
Démontrer que pour tout réel x ]-oo;-1] f'(x)>0
avec f'(x) = f'(x) =1+3(2x²-1)e^-x²
Où j'en suis dans mon devoir
f''(x) = 6xe^-x²(3-2x²) = 18xe^-x²-12x³e^-x²
or e^-x² >0 donc on étudie le signe de 18x-12x³
on factorise par x x(18-12x²)
donc x(18-12x²) =0 <=> x=0 ou x= -18/-12= 3/2
or 0 et 3/2 n'appartiennent pas a ]-oo;-1] donc le polynôme est du signe de -12x² soit négatif
on a donc f'(x) qui est décroissante avec lim en -oo = +oo et lim en -1=4
x | -oo -1
f'(x) | -
f(x) | +oo decroiss 4
or lim f'(x) >0 donc f'(x)>0
x->-1
qu'en pensez vous ?
27 commentaires pour ce devoir
mais V(3/2) et (V6)/2 c'est la même chose OK
mais on demande de démontrer que f'(x) est positive
la dérivée seconde , ça serait plutôt pour démontrer qu'elle est croissante ?
qu'en penses tu ?
oui mais si je montre qu'elle est croissante et que son minimum est 0 c'est bon non ? vous avez une autre piste ?
oui, on peut faire comme ça, c'est une bonne méthode
mais les racines ce n'est pas 3/2 (même si V(3/2) et (V6)/2 c'est la même chose)
oui c'est V(3/2) pardon
le signe de f''(x) c'est sur [-OO ; + OO[
positif de -OO à -V6/2
négatif de -V6/2 à 0
positif de 0 à V6/2
négatif de V6/2 à +OO
V6/2 n'appartient pas a l'intervalle ]-oo;-1]
ok nous sommes d'accord
Ah je trouve 4 pour la limite en -1 :/
fonction entière pour la limite de f' en -1 je trouve 1 + 3 e^-1 (environ 2.1)
ok pour 4 pour cette partie de la fonction 1+3(2x²-1) (il manque e^-x²)
pour la fonction en entier 1+3(2x²-1)e^-x² -> la limite c'est 2.1 (x->-1)
x | -oo - V6/2 -1
f'(x) | + -
f(x) | +oo croiss decroiss ?
2,1 irait par ce qu"il faut que tout soit positif mais je trouve ça etrange que on parte de -00 et que l'on monte encore plus pas vous ?
donc c'est 4 ou environ 2,1 ?
non, c'est ok
f' est croissante jusqu'à x = -V6/2
puis décroissante mais positive jusqu'à f(-1) = 2.10
elle devient négative pour x= -0.6 (environ) pas ds l'intervalle ( et elle est encore décroissante)
(suit le tableau de signe de la dérivée seconde c'est OK, tout correspond)
d'accord donc on a montré que f'(x)>0 ?
oui, puisqu'elle ne descend que jusqu'à 2.1, elle est au dessus de l'axe des abscisses
dérivée seconde positive -> f' croissante
dérivée seconde négative -> f' décroissante
x | -oo - V6/2 -1
f'(x) | + -
f(x) | +oo croiss decroiss 2,1
lim 1+3(2x²-1)e^-x²=
x->-oo
lim e^-x²=0
x->-oo
on a une forme indéterminée en -oo :(
lim 6x²-1=+oo
x->-oo
oui, c'est ça, j'ai la même chose sur l'écran de la calculatrice
tu as bien compris qu'une fonction peut être décroissante et positive
même si elle décroit tant qu'elle est au dessus de l'axe des abscisses elle est positive
oui tout a fait mais les limites me posent problème la :(
lim 1+3(2x²-1)e^-x²=2,1
x->-1
lim 6x²-3= 3
x->-1
lim e^-x²= e^-1
x->-1
oui c'est cela
lim 1+3(2x²-1)e^-x²=2,1 = 3e^-1 +1 (valeur exacte) quand x-> -1
et
lim 1+3(2x²-1)e^-x²= 1 quand x-> -OO
la fonction est toujours au dessus de l'axe des abscisses sur cet intervalle ]-OO -1 ]
quel problème as tu avec les limites?
la limite de e^-x² quand x tend vers -OO = O
du coup lim3(2x²-1)e^-x² =0
puis lim 1 + 3(2x²-1)e^-x² = 1 quand x-> -OO
d'accord je n'arrivais pas a le faire
merci beaucoup en tout cas
ce qui correspond parfaitement à la courbe de f'
est ce que tu as bien compris?
sur ton tableau de variations, il faut rectifier
lim f( x) x->-OO = 1
f(-V6/2) = 2.33 (c'est le maximum de f' sur cet intervalle)
oui je l'ai modifié et je comprend mieux !
ok bonne soirée :)
Ils ont besoin d'aide !
- Aucun devoir trouvé, poste ton devoir maintenant.
ok pour la dérivée seconde
x(18-12x²) =0
je n'ai pas les mêmes racines que toi x =0 ou x= -V6/2 ou x = V6/2
mais pourquoi ne pas étudier le signe de f'(x) ?
ah, avec mes racines et mes limites le tableau de signe ne marche pas donc vous avez sûrement raison j'ai fait
x²=18/12
x²= 9/6
x²=3/2
mais V(3/2) et (V6)/2 c'est la même chose