signe dérivée seconde, variaitions et limites

Publié le 17 déc. 2014 il y a 9A par Anonyme - Fin › 20 déc. 2014 dans 9A
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Sujet du devoir

Bonjour à tous !

Démontrer que pour tout réel x ]-oo;-1] f'(x)>0

avec f'(x) = f'(x) =1+3(2x²-1)e^-x² 

 

Où j'en suis dans mon devoir

f''(x) = 6xe^-x²(3-2x²) = 18xe^-x²-12x³e^-x²

or e^-x² >0 donc on étudie le signe de  18x-12x³

on factorise par x x(18-12x²)

donc x(18-12x²) =0 <=> x=0 ou x= -18/-12= 3/2

or 0 et 3/2 n'appartiennent pas a ]-oo;-1] donc le polynôme est du signe de -12x² soit négatif

on a donc f'(x) qui est décroissante avec lim en -oo = +oo et lim en -1=4

x     | -oo                                                                                     -1

f'(x) |                                                -

f(x) |    +oo                                     decroiss                              4

 

or lim f'(x) >0 donc f'(x)>0

x->-1

 

qu'en pensez vous ?

 




27 commentaires pour ce devoir


anny
anny
Posté le 17 déc. 2014

ok pour la dérivée seconde

x(18-12x²) =0

 je n'ai pas les mêmes racines que toi           x =0  ou x= -V6/2    ou x = V6/2

mais pourquoi ne pas étudier le signe de f'(x) ?

 

Anonyme
Posté le 17 déc. 2014

ah, avec mes racines et mes limites le tableau de signe ne marche pas donc vous avez sûrement raison j'ai fait

x²=18/12

x²= 9/6

x²=3/2

mais V(3/2) et (V6)/2 c'est la même chose

 

anny
anny
Posté le 17 déc. 2014

mais V(3/2) et (V6)/2 c'est la même chose     OK

mais on demande de démontrer que f'(x) est positive

la dérivée seconde , ça serait plutôt pour démontrer qu'elle est croissante ?

qu'en penses tu ?

 

Anonyme
Posté le 17 déc. 2014

oui mais si je montre qu'elle est croissante et que son minimum est 0 c'est bon non ? vous avez une autre piste ?

anny
anny
Posté le 17 déc. 2014

oui, on peut faire comme ça, c'est une bonne méthode

mais les racines ce n'est pas 3/2   (même si  V(3/2) et (V6)/2 c'est la même chose)

Anonyme
Posté le 17 déc. 2014

oui c'est V(3/2) pardon

 

anny
anny
Posté le 17 déc. 2014
le signe de f''(x) c'est sur [-OO  ;  + OO[

positif de -OO à -V6/2

négatif de -V6/2 à 0

positif de 0 à  V6/2

négatif de V6/2 à +OO

 

Anonyme
Posté le 17 déc. 2014

V6/2 n'appartient pas a l'intervalle ]-oo;-1]

anny
anny
Posté le 17 déc. 2014

ok nous sommes d'accord

Anonyme
Posté le 17 déc. 2014

Ah je trouve 4 pour la limite en -1 :/

anny
anny
Posté le 17 déc. 2014

fonction entière    pour la limite de f'  en -1  je trouve            1 +  3 e^-1   (environ 2.1)

ok pour 4       pour  cette partie de la fonction      1+3(2x²-1)        (il manque e^-x²)

pour la fonction en entier  1+3(2x²-1)e^-x²       ->  la limite c'est 2.1  (x->-1)

 

 

Anonyme
Posté le 17 déc. 2014

x     | -oo                                              - V6/2                                                               -1

f'(x) |                                 +                                         -

f(x) |    +oo                    croiss                                       decroiss                              ?

 

2,1 irait par ce qu"il faut que tout soit positif mais je trouve ça etrange que on parte de -00 et que l'on monte encore plus pas vous ?

 

Anonyme
Posté le 17 déc. 2014

donc c'est 4 ou environ 2,1 ?

anny
anny
Posté le 17 déc. 2014

non, c'est ok

f' est croissante jusqu'à  x  =  -V6/2

puis décroissante mais positive jusqu'à  f(-1) = 2.10

elle devient négative pour x= -0.6 (environ) pas ds l'intervalle ( et elle est encore décroissante)

(suit le tableau de signe de la dérivée seconde c'est OK, tout correspond)

 

 

Anonyme
Posté le 17 déc. 2014

d'accord donc on a montré que f'(x)>0 ?

anny
anny
Posté le 17 déc. 2014

oui, puisqu'elle ne descend que jusqu'à 2.1, elle est au dessus de l'axe des abscisses

dérivée seconde positive   ->  f'  croissante

dérivée seconde négative  ->  f'  décroissante

Anonyme
Posté le 17 déc. 2014

x     | -oo                                              - V6/2                                                               -1

f'(x) |                                 +                                         -

f(x) |    +oo                    croiss                                       decroiss                              2,1

Anonyme
Posté le 17 déc. 2014

lim 1+3(2x²-1)e^-x²=

x->-oo

lim e^-x²=0

x->-oo

on a une forme indéterminée en -oo :(

lim 6x²-1=+oo

x->-oo

anny
anny
Posté le 17 déc. 2014

oui, c'est ça, j'ai la même chose sur l'écran de la calculatrice 

tu as bien compris qu'une fonction peut être décroissante et positive

même si elle décroit tant qu'elle est au dessus de l'axe des abscisses elle est positive 

Anonyme
Posté le 17 déc. 2014

oui tout a fait mais les limites me posent problème la :(

Anonyme
Posté le 17 déc. 2014

lim 1+3(2x²-1)e^-x²=2,1

x->-1

lim 6x²-3= 3

x->-1

lim e^-x²= e^-1

x->-1

anny
anny
Posté le 17 déc. 2014

oui  c'est cela

lim 1+3(2x²-1)e^-x²=2,1   =  3e^-1 +1  (valeur exacte)   quand x-> -1

et 

lim 1+3(2x²-1)e^-x²=  1          quand x-> -OO                                                  

la fonction est toujours au dessus de l'axe des abscisses sur cet intervalle ]-OO   -1 ]

quel problème as tu avec les limites?

anny
anny
Posté le 17 déc. 2014

la limite de e^-x² quand x tend vers -OO = O

du coup lim3(2x²-1)e^-x² =0    

puis  lim  1 + 3(2x²-1)e^-x²   =  1  quand x-> -OO

Anonyme
Posté le 17 déc. 2014

d'accord je n'arrivais pas a le faire

merci beaucoup en tout cas

 

anny
anny
Posté le 17 déc. 2014

ce qui correspond parfaitement à la courbe de f'

est ce que tu as bien compris?

sur ton tableau de variations, il faut rectifier  

lim f( x) x->-OO  =  1

f(-V6/2) = 2.33  (c'est le maximum de f' sur cet intervalle)

Anonyme
Posté le 17 déc. 2014

oui je l'ai modifié et je comprend mieux !

 

anny
anny
Posté le 17 déc. 2014

ok bonne soirée :)

 


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