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Sujet du devoir
Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour cet exercice :
On admet l’encadrement (E) : "pour tout réel x ∈ [0, pi], x-(x^3/6) ≤ sin x ≤ x"
On pose pour tout n ∈ N*, Un = sin (1/n^2) + sin (2/n^2) + … + sin (n/n^2) et Vn = 1/n^2 + 2/n^2 + … + n/n^2
L’objectif est d’étudier la convergence de la suite (Un).
1) Déduire de l’encadrement (E) que, pour tout n ∈ N*, Un ≤ Vn
2. a) Justifier que pour tout n ∈ N*, 1^3 + 2^3 + … + n^3 ≤ n^4
b) En déduire, à l’aide de l’encadrement (E), que, pour tout n ∈ N*, Vn – (1/6n^2) ≤ Un.
3) Montrer que lim Vn (n → +∞) = ½. En déduire que la suite (Un) est convergente vers un réel que l’on précisera.
Où j'en suis dans mon devoir
Pour l'instant je n'ai rien trouvé car je bloque dès la question 1. J'aurais besoin de quelques conseils pour commencer.
Merci d'avance !
6 commentaires pour ce devoir
As tu réussi la première question?
J'attends toujours ta réponse.
Merci pour ton aide :) Voilà ce que j'ai mis :
sin(1/n²)<1/n²
sin(2/n²)<2/n²
sin(n/n²)<n/n²
Donc Un≤Vn
Pour la question suivante :
1<n
2<n
n-1<n
n≤n
Alors 1^3<n^4
2^3<n^4
n^3 -1<n^4
Donc 1^3 + 2^3 +...+n^3 ≤ n^4
1^3<n^3,2^3<n^3,...n^3 ≤ n^3 donc 1^3 + 2^3 + … + n^3 ≤n*n^3
et donc 1^3 + 2^3 +...+n^3 ≤ n^4
Ils ont besoin d'aide !
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Pour la première question, il suffit d'utiliser sin x ≤ x.
sin (1/n^2)≤ 1/n².......