TVI appliqué à une fonction d'une aire

Sujet du devoir

Alors voilà, j'ai un petit soucis dans mon exo' de math, voici l'énoncé :
"Dans un repère orthonormé OIJ, on considère le cercle C d'équation x²+y²=1 et les points I(1;0) et I'(-1;0). Pa tout point H d'affixe x du segment [II'], on trace la perpendiculaire à la droite (II') passant par H et coupant le cercle C en A et A'.
Combien de triangle(s) IAA' d'aire 1 existe(nt)-il(s) selon les valeurs de x ?"
Avec l'aide d'un camarade, on a conjecturé qu'il y en avait 2 (grâce à géogébra) : quand H a pour coordonnées (0;0) et (-0,84;0).

Où j'en suis dans mon devoir

Avec l'aide d'un camarade, on a conjecturé qu'il y en avait 2 (grâce à géogébra) : quand H a pour coordonnées (0;0) et (-0,84;0).
On a ensuite mené le raisonnement suivant :
" On cherche le nombre de triangles IAA' dont l'aire est égale à 1.
Définissons la fonction f(x) = AireIAA'. (pour utiliser le TVI)
Soit OH = x. La hauteur du triangle IAA' est HI=1-x. Soit AA' la base B du triangle IAA' noté B. AH vaut donc B/2.
Le triangle HOA est rectangle en H donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :
OA²=OH²+AH²
<=> AH²=OA²-OH²
<=> AH²=1²-x² (A étant sur le cercle de centre O, OA est le rayon du cercle qui vaut 1)
<=> AH= √(1-x²)
On a donc f(x)=A=h*B/2=HI*2AH/2=HI*AH=(1-x)√(1-x²)"
La fonction est juste : quand j'utilise géogébra pour faire varier les valeurs de x du point H, l'aire vaut exactement f(x)=y. Et c'est là où survient mes problèmes :
Au début du raisonnement j'ai posé x=OH, la longueur d'un segment (qui est donc positive), pourquoi je me retrouve avec une fonction où x est devenu la coordonné x de H ? la hauteur HI=1-x mais seulement quand H ∈ OI, lorsque H ∈ OI' ça devrait être HI=1+x donc logiquement f(x)=(1+x)√(1-x²) sur [-1;0] et f(x)=(1-x)√(1-x²) sur [0;1] mais c'est faux, pourquoi