un vrai casse tête géométrique

Sujet du devoir

Bonsoir ;

j'ai trouvé ce bon exercice chez un élève mais j'ai pas pu le résoudre ainsi je vous remercie d'avance pour votre aide.

Soit abc un triangle acutangle, H son orthocentre, soient a', b', c' milieux respectifs des segments : [b c] , [a c] et [a b]. On prend un cercle de centre a' et qui passe par H donc ce cercle coupe (b c) en deux points soient a1 et a2 , de même en prend un cercle de centre b' qui passe par H et coupe (a c) en b1 et b2, en fin on prend aussi un cercle de centre c' et qui passe par H et coupe (a b) en c1 et c2.

Démontrer que les points a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 se trouvent sur le même cercle.

Où j'en suis dans mon devoir

C'est claire que le centre de ce cercle est bel et bien le point O le centre de cercle circonscrit au triangle abc, j'ai essayé de raisonner par différentes manières mais sans aboutissement je suis resté vraiment figé, soit en essayant de montrer que  les segments [O a1] , [O a2] , [O b1] , [O b2] , [O c1] et [O c2] sont égaux donc il s'agit d'un rayon d'un cercle qui passe par ces 6 ponts, soit en essayant de prouver par exemple que les 2 triangles " O a1 c1 " et " O a2 b1 " sont isocèles, soit en prenant tous les triangles formés par 3 point de ces 6 points et essayer de montrer qu'ils partagent le même cercle circonscrit, j'ai aussi essayé de raisonner qu'il s'agit du grand cercle circonscrit au triangle abc avec  diminution de rayon mais sans résultat à la fin, je ne suis pas sûr s'il faut utiliser  les principes d'Euler ( sa droite et ses équations vectorielles ). Voila tout et encore une fois merci d'avance