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Sujet du devoir
Pour tout nombre complexe z, on pose f(z) = z 4 − z 3 + z 2 + 2. On admettra que si P est un polynôme de degré n, et si un nombre complexe z0 est solution de l’équation P(z) = 0 , alors P(z) se factorise en P(z) = (z − z0)Q(z), où Q est un polynôme de degré n − 1.
1. Démontrer que si a est solution de l’équation f(z) = 0 alors son conjugué a est aussi solution de cette équation.
2. Démontrer que 1 + i et −1 + i 3 2 sont solutions de l’équation f(z) = 0 .
3. On admet qu’un polynôme de degré 4 admet 4 solutions complexes. Donner alors les deux autres solutions de cette équation.
4. En déduire que f(z) est le produit de deux polynômes de degré deux à coefficients réels.
mercie d'avance pour votre temps
Où j'en suis dans mon devoir
j'ai fait des recherche mais elle mon mené nulle part
5 commentaires pour ce devoir
Pour maguimago:
Merci d'aider et d'accompagner, mais de ne pas faire le devoir dans son intégralité
bonsoir
OK , mais j'ai pas tout fais
j'ai fais la moité de la question 2 pour montrer qu'il n y a qu a se retrouché les manches
1) Il suffit de conjuguer l'expression f(z)=0, mais tu dois connaître les propriétés de la conjugaison du genre conj(z) = z pour z réel, conj(z^n) = conj(z)^n etc ...
2) Faut calculer
3) Utilise le 1)
4) Tu déduis de ce qui précède que P(z) = K . (z-z1) . (z-z2) ... où les z1, z2 sont les racines. Tu dois montrer que K (constante puisque polynome de degré 0) =1.
Enfin tu calcules (z-z1)(z-conjz1) avec z1=1+i, tu fais pareil avec l'autre racine trouvée au 2)
Ils ont besoin d'aide !
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bonsoir
( 1+i)
(1+i)^4 = 1^4+4x1^3i+6x1^2xi^2+4x1xi^3+i^4 = -4
-(1+i)^3 = -(1^3+3x1^2xi+3x1xi^2+i^2) = 2 - 2i
(1+i)^2 = 1+2i-i^2 = 2i
+2 = 2
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(1+i)^4-(1+i)^3+(1+i)^2+2 = 0
je pense que faire des recherches c'est bien , mais des fois faut se retrousser les manches
merci