Démontrer qu'un rectangle est "d'or".

Publié le 9 janv. 2010 il y a 14A par Anonyme - Fin › 11 janv. 2010 dans 14A
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Sujet du devoir

Bonjour,

En sachant que longueur/largeur=demi-périmètre/longueur et que x^2-x-1=0,
je cherche à répondre à la question suivante :

Soit ADFE un carré de côté 1 et I le milieu de [ D ; F ]. Le cercle de centre I de rayon IE coupe la demi-droite [DF) en un point C. On appelle B le point tel que ADCB est un rectangle . Montrer que le rectangle ADCB est un rectangle d’or.

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai tracé la figure (il faut que A,E,B et D,F,C soient alignés pour qu'elle fonctionne), j'obtiens un triangle rectangle mais il ne me semble pas qu'il faille utiliser pythagore ici.
J'obtiens :
DC/AD=(AD+DC)/DC
=> DC/1 = (1+DC)/DC
=> DC= (1+DC)/DC

Mais l'égalité me semble impossible logiquement parlant... ?
Je ne vois pas comment prouver que le rectangle est d'or.



2 commentaires pour ce devoir


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Anonyme
Posté le 9 janv. 2010
tu calcules AI dans le triangle ADI rectangle en D avec le théorème de Pythagore

IC = IA puisque A et C sont sur le cercle de centre I et de rayon IA

donc DC=DI+IC=0,5+IA

puis tu calcules DC/AD, ça doit donner (1 + racine de 5)/2


c'est assez bien expliqué ici aussi:
http://lycees.ac-rouen.fr/bruyeres/maths/rectdor.html
Anonyme
Posté le 10 janv. 2010
Merci de votre aide !
Je dois également démontrer que le rectangle GHFC (les points G et H appartiennent au carré EGBH), mais je ne vois pas trop par où commencer. Est-ce que je dois prouver que EFCB est d'or ?

Je calcule :
FC = DC-DF = DI + IC -1 = 1/2 + rac5/2 - 2/2 = (-1+rac5)/2

GF = EF - EG = 1 - FC = 1 - (-1+rac5)/2 = - (1+rac5)/2 = - phi

Mais lorsque je fais
FC/GF = (-1+rac5)/2 / -phi = 1
(GF+FC)/FC = {[(1-rac5)/2] + [(-1+rac5)/2]}/[(-1+rac5)/2]=0

J'ai donc : FC/GF≠(GF+FC)/FC, ce qui n'est pas normal.

Y a-t-il des erreurs de calcul (j'ai beau vérifier, je n'en vois pas...) ou faut-il utiliser une toute autre méthode ?

Merci de votre aide.

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