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Sujet du devoir
Dans un repère orthonormal (O,i,j) , on considère la parabole P d'équation y=x^2 .L'objectif est de trouver l'ensemble E des points M d'où l'on puisse mener deux tangentes à P qui soient perpendiculaires.
1) Soit M0 (x0;y0) un point du plan. On suppose que M0 est un point de l'ensemble E.
a) Soient a et b deu réels.
Ecrire une équation des tangentes Ta et Tb à P respectivement aux points d'abscisse a et b.
b) Traduire analytiquement le fait que M0 appartient aux deux tangentes Ta et Tb.
c) Traduire analytiquement l'orthogonalité de Ta et Tb.
d) En déduire que si M0 est un point de l'ensemble E alors y0= -1/4.
2) Si M est un point de la droite (d) d'équation y= -1/4 ,peut-on mener de M deux tangentes à la parabole P qui soient perpendiculaires?
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai fait la 1)a)b)c) et je coince à la d) et pour la 2) aussi . Pour la d) je n'arrive pas à trouver y0= -1/4 ! je suis sur cette exercice depuis des heures , si on pourrai m'aider se serait très sympa !!8 commentaires pour ce devoir
normalement tu as trouver X0, il faut juste dire que ca appartient à Ta pour trouver y0
Comment fait-on pour trouver x=(a+b)/2 pour la 1)b) ?
2a(x-a)+a² = 2b(x-b)+b²
2a.x - 2a² + a² = 2b.x - 2b²+b²
2a.x - 2b.x = a²-b²
x.(2a-2b)=a²-b²
x=(a²-b²) / (2a-2b) pour adifferent de b x=(a+b)/2
2a.x - 2a² + a² = 2b.x - 2b²+b²
2a.x - 2b.x = a²-b²
x.(2a-2b)=a²-b²
x=(a²-b²) / (2a-2b) pour adifferent de b x=(a+b)/2
Et pour la question 2) je la comprends pas , il faut répéter ce que l'on a dit avant ??
Grosso modo il faut répeter ce que tu viens d'ecrire
sauf que c'est toute les droite y=-1/4 qui est solution
car pour tout point M appartenant à y=-1/4, il existe une abcisse qui peut s'ecrire sous la forme
x=(4.a²-1)/8.a
sauf que c'est toute les droite y=-1/4 qui est solution
car pour tout point M appartenant à y=-1/4, il existe une abcisse qui peut s'ecrire sous la forme
x=(4.a²-1)/8.a
D'accord . Merci bien :)
Ce qu'a écrit Vrishnak est très correct :
Ta : y=2ax-a^2
Tb : y=2bx-b^2
On trouve bien x0=(a+b)/2 et y0=-1/4.
Pour le 2), on part de x0=(a+b)/2 et ab=-1/4 ce qui donne une équation du second degré en a : 4.a^2-8.x0.a-1=0 dont les deux racines sont les abscisses des points sur la parabole dont les tangentes se croisent en x0 sur la droite (d).
Noter que l'inconnue est a. On peut aussi trouver cette équation à partir de la somme et du produit de ses racines (resp. 2x0 et –1/4).
Donc la droite (d) est l'ensemble E des points M d'où l'on peut mener deux tangentes à P qui soient perpendiculaires.
Ta : y=2ax-a^2
Tb : y=2bx-b^2
On trouve bien x0=(a+b)/2 et y0=-1/4.
Pour le 2), on part de x0=(a+b)/2 et ab=-1/4 ce qui donne une équation du second degré en a : 4.a^2-8.x0.a-1=0 dont les deux racines sont les abscisses des points sur la parabole dont les tangentes se croisent en x0 sur la droite (d).
Noter que l'inconnue est a. On peut aussi trouver cette équation à partir de la somme et du produit de ses racines (resp. 2x0 et –1/4).
Donc la droite (d) est l'ensemble E des points M d'où l'on peut mener deux tangentes à P qui soient perpendiculaires.
Ils ont besoin d'aide !
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l'equation de la tangente au point d'abcisse a et au point d"abcisse b sont
Ta: ya=f'(a)(x-a)+f(a)
Tb: yb=f'(b)(x-b)+f(b)
b) Le point appartenant au deux tangents sera la point d'intersection donc
f'(a)(x-a)+f(a)=f'(b)(x-b)+f(b)
d'où
2.a(x-a)+a²=2.b(x-b)+b²
en reorganisant on obtient
x=(a+b)/2
Les point d'intersection entre Ta et Tb decrive donc la droite x=(a+b)/2
c) Ta et Tb perpendiculaire revient à dire que le produit des coefficients directeur des deux tangent est egale à -1
donc
f'(a)*f'(b)=-1
2.a * 2.b=-1
implique
b=-1/(4.a)
b) si M(x0,y0) apparteitn au deux tangentes perpendicualaire alors
il appartient à la droite
x=(a-1/(4.a))/2 = (4.a²-1)/8.a
ddonc x0=(4.a²-1)/8a
or M0 appartient à la tangenat Ta
donc Y0=f'(a)(x0-a)+f(a)
Y0= 2.a(x0-a)+a²
or x0=(4.a²-1)/8a
donc
y0= 2a*[(4a²-1)/8a] - 2.a²+a²
y0=(4a²-1)/4 -a² = a² - 1/4 -a² = -1/4