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Sujet du devoir
PARTIE A :On considère la fonction définie sur R par F(x) = x^3 - 12x² + 17x + 30
1) Déterminer les réels a,b et c tels que , pour tous réels x , f(x) = (x+1)(ax²+bx+c)
2) Dresser le tableau de signe de f(x) sur R .
PARTIE B :
Une entreprise fabrique x objets (x > 0 ). Chaque objet est vendu au prix unitaire P , exprimé en centaine d'euros.
Le coût total de fabrication, en centaine d'euros, de x objet est C(x) = -x^3 + 23/2 x² - 5x - 30 .
Le nombre x d'objets demandés par la clientèle dépend du prix P et vérifie la relation : 12 - 1/2x - P = 0 .
On suppose par la suite que cette relation est toujours vérifiée et que l'entreprise produit la quantité demandée .
1) Pour tout réel x appartenant a ] 0 ; +infini[ on appelle R(x) la recette totale exprimée en centaine d'euros , associée à la vente de x objets au prix unitaire P .
a) Montrer que R(x) = -1/2 x² + 12x
b) Donner le tableau de variation de R sur ]0; +infini[ . Pour combien d'objets cette recette est elle maximale? Quel est alors son montant ?
2) Soit B(x) le bénéfice dégagé par la vente de x objets (B(x)= R(x)-C(x))
Montrer que pour tout réel x appartenant à ]0;+infini[ B(x)=F(x)
En déduire pour quelles valeurs de x l'entreprise réalise effectivement un bénéfice .
Où j'en suis dans mon devoir
Je n'arrive pas à commencer cet exercice que j'ai beaucoup de mal à comprendre . Je ne demande qu'à apprendre :) . D'avance merci de votre aide précieuse .6 commentaires pour ce devoir
Bonjour,
Tu vois que F(x) est écrite sous la forme d'une somme (x^3 - 12x² + 17x + 30)
On te propose de la factoriser (de l'écrire sous la forme d'un produit).
Pour pouvoir identifier qui est a / qui est b / etc, développes l'expression proposée (f(x) = (x+1)(ax²+bx+c))
Après, tu identifies les coefficients entre eux.
ex :
g(x) = x² - 1
trouver a et b pour que g(x) = (x - a) (x - b)
on développe l'expression proposée :
g(x) = x² - xb - ax + ab
on regroupe les termes :
g(x) = x² + x(-a-b) + ab
Or g(x) = x² - 1
donc -a-b = 0 (il n'y a pas de terme en x dans x² - 1)
et ab = -1 (le terme constant de x² - 1 est -1)
ça te fait un système de deux équations à deux inconnues.
Donc a = -1 et b = 1, ou l'inverse.
Bon j'ai choisi un exemple très con, pasque tu n'as pas besoin d'utiliser cette méthode des coefficients indéterminés pour pouvoir répondre à la question. Tant pis, c'est un exemple quand même.
Tu vois que F(x) est écrite sous la forme d'une somme (x^3 - 12x² + 17x + 30)
On te propose de la factoriser (de l'écrire sous la forme d'un produit).
Pour pouvoir identifier qui est a / qui est b / etc, développes l'expression proposée (f(x) = (x+1)(ax²+bx+c))
Après, tu identifies les coefficients entre eux.
ex :
g(x) = x² - 1
trouver a et b pour que g(x) = (x - a) (x - b)
on développe l'expression proposée :
g(x) = x² - xb - ax + ab
on regroupe les termes :
g(x) = x² + x(-a-b) + ab
Or g(x) = x² - 1
donc -a-b = 0 (il n'y a pas de terme en x dans x² - 1)
et ab = -1 (le terme constant de x² - 1 est -1)
ça te fait un système de deux équations à deux inconnues.
Donc a = -1 et b = 1, ou l'inverse.
Bon j'ai choisi un exemple très con, pasque tu n'as pas besoin d'utiliser cette méthode des coefficients indéterminés pour pouvoir répondre à la question. Tant pis, c'est un exemple quand même.
pardon niceteaching, j'ai écrit en même temps que toi ; je te laisse la main !
Merci de votre réponse .
Je ne comprend pas comment avec ax^3 + (b+a)x² + (b+c)x + c
je peux déterminer le système que vous avez identifier .Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait .
Je ne comprend pas comment avec ax^3 + (b+a)x² + (b+c)x + c
je peux déterminer le système que vous avez identifier .Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait .
Donc si je le présente de cette façon ca va ou pas ?
1) f(x) = x^3 -12x² + 17x + 30
Pour tous réels de x :
(x+1)(ax²+bx+c)
= ax^3 + (b+a)x² + (b+c)x + c
On obtient alors le sytème suivant :
a= 1
b+a = -12
b+c = 17
c=30
Donc
a= 1
b= -13
c= 30
1) f(x) = x^3 -12x² + 17x + 30
Pour tous réels de x :
(x+1)(ax²+bx+c)
= ax^3 + (b+a)x² + (b+c)x + c
On obtient alors le sytème suivant :
a= 1
b+a = -12
b+c = 17
c=30
Donc
a= 1
b= -13
c= 30
RECTIFICATIONS et COMPLEMENTS à ce que tu as écrit :
1) f(x) = x^3 -12x² + 17x + 30
Pour tous réels x (et pas de x) :
(x+1)(ax²+bx+c) = ... (détailler le développement)
= ax^3 + (b+a)x² + (b+c)x + c (on a factorisé par les différents degré de x)
On obtient alors, par identification des coefficients, le système suivant :
a= 1
b+a = -12
b+c = 17
c=30
Résolvons ce système (au lieu de Donc)
a = 1
b = -13
c = 30
Ensuite, tu récris f(x) avec les valeurs trouvées pour a, b et c
(L'identification des coefficients revient à comparer l'expression générale de f(x) avec a, b et c, et celle, détaillée, qu'on a dans l'énoncé.)
Niceteaching, prof de maths à Nice
1) f(x) = x^3 -12x² + 17x + 30
Pour tous réels x (et pas de x) :
(x+1)(ax²+bx+c) = ... (détailler le développement)
= ax^3 + (b+a)x² + (b+c)x + c (on a factorisé par les différents degré de x)
On obtient alors, par identification des coefficients, le système suivant :
a= 1
b+a = -12
b+c = 17
c=30
Résolvons ce système (au lieu de Donc)
a = 1
b = -13
c = 30
Ensuite, tu récris f(x) avec les valeurs trouvées pour a, b et c
(L'identification des coefficients revient à comparer l'expression générale de f(x) avec a, b et c, et celle, détaillée, qu'on a dans l'énoncé.)
Niceteaching, prof de maths à Nice
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Déterminer les réels a,b et c tels que , pour tous réels x , f(x) = (x+1)(ax²+bx+c). Cela signifie que l'on souhaite trouver une autre écriture de f(x), écriture autre que : f(x) = x^3 - 12x² + 17x + 30
Alors, tu développes :
f(x) = (x+1)(ax²+bx+c) ) ax^3 + bx² + cx + ax² + bx + c
= ax^3 + (b+a)x² + (b+c)x + c
Alors, il te reste à identifier les coefficients et à résoudre un système :
a = 1
b+a = -12
b+c = 17
c = 30
a = 1
c = 30
b = -13
Compris ? A toi de jouer désormais !
Niceteaching, prof de maths à Nice