- Partage ce devoir avec tes amis !
Sujet du devoir
On condidère un ABC triangle équilatéral de coté 1. On partage ensuite chaque coté en 3 et crée sur chacun des cotés la figure suivante :
Bonjour, voici mon sujet sur lequel je coince..
On a ainsi créé trois autres triangles équilatéraux "au milieu", 3 fois plus petit que le précédent. On refait pareil sur chacun des 12 cotés de la nouvelle figure; on obtient vite une figure similaire à un flocon.
On definit plusieurs suites :
(Ln) : Longeur des cotés des triangles équilatéraux successifs :L0 =1
(Cn) : nb de coté du "flocon" C0=3
(Pn) : Périmétre des "flocons" successifs P0=3
(An) : Aire des "flocons" successifs
a) Faire un dessin de trois premières étapes
b) Calculer A0
c) Trouver les relations qui lient les termes suivants aux précédents, pour chacune des 3 première suits. A quel tpe de suite avons-nous à faire?
d) En déduire les expressions des termes généraux en fonction de n pour ces 3 suites
f) Determiner la relation qui lie les termes suivants aux précédents pour la suite des aires An (On exprimera An+1 en fonction de An, Cn, Ln+1
g) Avec l'aide de calculatrice, d'algorithme ou encore de tableur, conjecturer la limite de An. Que constate-t-on? Alors que la limite de Pn est ...
h) Trouver An en fonction de n par calcul ( indice : la somme 1 + q + q^2 + ... + q^n = (1-q^n)/(1-q) ) et en déduire la limite précise.
Image concernant mon devoir de Mathématiques
Où j'en suis dans mon devoir
Alors :
a) D'apres l'énoncé, je me retrouve en effet avec une figure qui ressemble fortement à un flocon. J'ai déja réusssi a créer le dessin des 3 premieres figures sans trop de difficiluté. ( voir illustration )
b) Je sais que l'aire d'un triangle équilatérale est : A = a² (V3/4) avec, a la longueur d'un coté, et V qui signifie la racine carré. Pour calculer A0, comme L0 = 1, A = 1² (V3/4) = (V3/4)
Je me suis arreté la, apres avoir pourtant chercher longtemps. Pas très à l'aise dans les suites numériques, j'aurais bien besoin d'aide. Merci d'avance.
8 commentaires pour ce devoir
c )
(Ln) : suite géométrique de raison q= 1/3 et L(n-1) = Ln*1/3
(Cn) : suite géométrique de raison q=4 et C(n-1) = Cn*4
(Pn) : P0=L0*C0 ; P1=L1*C1 ; P2=L2*C2 ... mais quelle est la raison de cette suite puisqu'il s'agit de multiplier Ln et Cn? Si c'est un suite géométrique de raison Pn = Ln*Cn, que vaut P(n-1)?
c)
(Ln) => Attention Ln= L(n-1) * 1/3
C’est bien une suite géométrique de raison q=1/3
(Cn) => Attention Cn= C(n-1) * 4
C’est bien une suite géométrique de raison q=4
(Pn)
Vous avez bien vu que Pn= Cn * Ln
Si on remplace Cn et Ln par les expressions trouvées, il faut essayer de faire apparaître P(n-1).
Alors Pn = C(n-1) * 4 * L(n-1) * 1/3
Pn= 4/3 * C(n-1) * L(n-1)
Comme P(n-1) = C(n-1) * L(n-1) donc Pn = 4/3 * P(n-1)
Est ce clair?
Ah oui merci, c'est plus clair maintenant. Merci
d) En déduire les expressions des termes généraux en fonction de n pour ces 3 suites:
Ln = (1/3)^n * 1
Cn=4^n*3
Pn=(4/3)^n*3
e) Variation et liminite de chacune de ces 3 suites, conjecture : (j'ai oublié cette question dans l'enoncé)
Ln, decroissante, limite= -infini
Cn, croissante, limite = +infini
Pn, croissante, limite = +infini
Est cela?
d)
ok
e)
L0 = 1 , Ln est décroissante (ok) ; si la limite est –oo, cela signifie qu’à un moment Ln<0 ou même de Ln=0.
Ln=(1/3)^n*1 = (1/3)^n
1/3 est positif et différent de 0 il y a peu de chance que Ln soit négatif à un moment donné.
Il faut connaître la limite de q^n.
Si 1<q alors la suite « q^n » a pour limite +oo quant n tend vers +oo
Si q<0 alors la suite « q^n » n’a pas de limite finie quant n tend vers +oo. En effet, quant n est pair, la limite est +oo mais quant n est impair, la limite est –oo.
Si 0<q<1, alors la suite « q^n » a pour limite 0 quant n tend vers +oo.
En effet reprenons la suite Ln, q=1/3
Ln = (1/3)^n = (1^n) / (3^n)
1^n = 1 quelque soit n
3^n a pour limite +oo quant n tend vers +oo
Donc la limite de Ln est 1 / +oo = 0.
Pour Cn et Pn, comme q>1, leur limite est bien infini.
Mais s’il fallait juste conjecturer les limites, pour résoudre il faut prendre une calculatrice, et calculé le résultat des suites pour des valeurs de n très grande.
J’attends la suite.
En effet, j'ai compris mon erreur.
Pour la question f), on a :
A0 = 0.4 environ , et A1 = A0 + C0 * (L1)² * V(3)/4
Mais je ne vois pas comment, a partir de cela, je peut retrouver une relation entre A(n+1), An, Cn et L(n+1) ?
f)
Si n=0 que devient A1 = A0 + C0 * (L1)² * V(3)/4 ?
A(n+1) = An + Cn * L²(n+1) * V(3)/4
Il s’agit de remplacer les indices de A, C et L par des expressions en indices avec des “n”
A1 devient A(n+1)
A0 devient A(n)
C0 devient C(n)
L1 devient L(n+1)
Avez-vous compris?
l'expression donné par littlebear s'explique en observant sur les dessins des trois premières étapes que l'aire est augmenté par l'aires des nouvaux triangles (L²n+1*V(3)/4) et qu'a chaque etape il y a autant de nouveaux triangle qu'il y avait de coté à l'étape precedente d'ou le facteur Cn qui apparait.
Ils ont besoin d'aide !
- Aucun devoir trouvé, poste ton devoir maintenant.
c)
(Ln) :
A quoi est égal le cote des petits triangles créés dans la figure 2 ?
Par construction, ce coté est égal à un tiers du coté L0
Donc L1=L0 /3
Donc L2=L1 /3
A quoi est égal selon vous Ln en fonction de L(n-1) ?
Quelle est alors ce type de suite ?
(Cn) :
A chaque niveau, on prend une longueur que l’on coupe en trois pour créer un triangle équilatéral au milieu ; à chaque longueur on crée alors quatre cotés.
C0 =3 => C1 = 4 * C0 => C2 = 4 * C1
A quoi est égal Cn en fonction de C(n-1) ?
Quelle est alors ce type de suite ?
(Pn) :
A quoi est égal Pn en fonction de Ln et Cn ?
Déduisez en une relation entre Pn et P(n-1).
d)
Une fois trouvée le type de suite, c’est une question de cours pour trouver ces suites en fonction de n.
f)
(An) :
Vous avez bien calculé A0.
Pour A1, il faut remarquer que la figure 1 (celle qui a pour aire A0) est toujours présente.
Si on retire la figure 1 à la figure 2, il reste trois petits triangles.
L’aire de ces petits triangles est (L1)² * V(3)/4
Le nombre trois est fonction du nombre de cotés du niveau précédent.
A1 = A0 + C0 * (L1)² * V(3)/4
Pouvez trouver une relation entre A(n+1), An, Cn et L(n+1) ?
g)
A votre calculatrice.
h)
Si vous avez trouvé la relation de A(n+1) à la question f), il vous suffit de remplacer les expressions trouvées à la question d) (en fonction de n) pour trouver la réponse.