Devoir suite numérique : le flocon

Publié le 3 janv. 2014 il y a 10A par Anonyme - Fin › 10 janv. 2014 dans 10A
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Sujet du devoir

On condidère un ABC triangle équilatéral de coté 1. On partage ensuite chaque coté en 3 et crée sur chacun des cotés la figure suivante :

Bonjour, voici mon sujet sur lequel je coince..

On a ainsi créé trois autres triangles équilatéraux "au milieu", 3 fois plus petit que le précédent. On refait pareil sur chacun des 12 cotés de la nouvelle figure; on obtient vite une figure similaire à un flocon.
On definit plusieurs suites :

(Ln) : Longeur des cotés des triangles équilatéraux successifs :L0 =1
(Cn) : nb de coté du "flocon" C0=3
(Pn) : Périmétre des "flocons" successifs P0=3
(An) : Aire des "flocons" successifs

a) Faire un dessin de trois premières étapes

b) Calculer A0

c) Trouver les relations qui lient les termes suivants aux précédents, pour chacune des 3 première suits. A quel tpe de suite avons-nous à faire?

d) En déduire les expressions des termes généraux en fonction de n pour ces 3 suites

f) Determiner la relation qui lie les termes suivants aux précédents pour la suite des aires An (On exprimera An+1 en fonction de An, Cn, Ln+1

g) Avec l'aide de calculatrice, d'algorithme ou encore de tableur, conjecturer la limite de An. Que constate-t-on? Alors que la limite de Pn est ...

h) Trouver An en fonction de n par calcul ( indice : la somme 1 + q + q^2 + ... + q^n = (1-q^n)/(1-q) ) et en déduire la limite précise.

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Image concernant mon devoir de Mathématiques

Où j'en suis dans mon devoir

Alors :

a) D'apres l'énoncé, je me retrouve en effet avec une figure qui ressemble fortement à un flocon. J'ai déja réusssi a créer le dessin des 3 premieres figures sans trop de difficiluté. ( voir illustration )

b) Je sais que l'aire d'un triangle équilatérale est : A = a² (V3/4) avec, a la longueur d'un coté, et V qui signifie la racine carré. Pour calculer A0, comme L0 = 1, A = 1² (V3/4) = (V3/4)

Je me suis arreté la, apres avoir pourtant chercher longtemps. Pas très à l'aise dans les suites numériques, j'aurais bien besoin d'aide. Merci d'avance.




8 commentaires pour ce devoir


Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 4 janv. 2014

c)

(Ln) :

A quoi est égal le cote des petits triangles créés dans la figure 2 ?
Par construction, ce coté est égal à un tiers du coté L0
Donc L1=L0 /3
Donc L2=L1 /3

A quoi est égal selon vous Ln en fonction de L(n-1) ?
Quelle est alors ce type de suite ?

(Cn) :

A chaque niveau, on prend une longueur que l’on coupe en trois pour créer un triangle équilatéral au milieu ; à chaque longueur on crée alors quatre cotés.
C0 =3 => C1 = 4 * C0 => C2 = 4 * C1
A quoi est égal Cn en fonction de C(n-1) ?
Quelle est alors ce type de suite ?

(Pn) :

A quoi est égal Pn en fonction de Ln et Cn ?
Déduisez en une relation entre Pn et P(n-1).

d)

Une fois trouvée le type de suite, c’est une question de cours pour trouver ces suites en fonction de n.

f)

(An) :

Vous avez bien calculé A0.
Pour A1, il faut remarquer que la figure 1 (celle qui a pour aire A0) est toujours présente.
Si on retire la figure 1 à la figure 2, il reste trois petits triangles.
L’aire de ces petits triangles est (L1)² * V(3)/4
Le nombre trois est fonction du nombre de cotés du niveau précédent.
A1 = A0 + C0 * (L1)² * V(3)/4

Pouvez trouver une relation entre A(n+1), An, Cn et L(n+1) ?

g)
A votre calculatrice.

h)
Si vous avez trouvé la relation de A(n+1) à la question f), il vous suffit de remplacer les expressions trouvées à la question d) (en fonction de n) pour trouver la réponse.

Anonyme
Posté le 5 janv. 2014

c ) 
(Ln) : suite géométrique de raison q= 1/3 et L(n-1) = Ln*1/3

(Cn) : suite géométrique de raison q=4 et C(n-1) = Cn*4

(Pn) : P0=L0*C0 ; P1=L1*C1 ; P2=L2*C2 ... mais quelle est la raison de cette suite puisqu'il s'agit de multiplier Ln et Cn? Si c'est un suite géométrique de raison Pn = Ln*Cn, que vaut P(n-1)?

 

 

 

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 5 janv. 2014

c)
(Ln) => Attention Ln= L(n-1) * 1/3
C’est bien une suite géométrique de raison q=1/3
(Cn) => Attention Cn= C(n-1) * 4
C’est bien une suite géométrique de raison q=4

(Pn)
Vous avez bien vu que Pn= Cn * Ln
Si on remplace Cn et Ln par les expressions trouvées, il faut essayer de faire apparaître P(n-1).
Alors Pn = C(n-1) * 4 * L(n-1) * 1/3
Pn= 4/3 * C(n-1) * L(n-1)
Comme P(n-1) = C(n-1) * L(n-1) donc Pn = 4/3 * P(n-1)

Est ce clair?

Anonyme
Posté le 5 janv. 2014

Ah oui merci, c'est plus clair maintenant. Merci


d) En déduire les expressions des termes généraux en fonction de n pour ces 3 suites: 
Ln = (1/3)^n * 1

Cn=4^n*3

Pn=(4/3)^n*3

e) Variation et liminite de chacune de ces 3 suites, conjecture : (j'ai oublié cette question dans l'enoncé)

Ln, decroissante, limite= -infini

Cn, croissante, limite = +infini

Pn, croissante, limite = +infini  

 

Est cela?

 

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 5 janv. 2014

d)
ok
e)
L0 = 1 , Ln est décroissante (ok) ; si la limite est –oo, cela signifie qu’à un moment Ln<0 ou même de Ln=0.
Ln=(1/3)^n*1 = (1/3)^n
1/3 est positif et différent de 0 il y a peu de chance que Ln soit négatif à un moment donné.
Il faut connaître la limite de q^n.
Si 1<q alors la suite « q^n » a pour limite +oo quant n tend vers +oo
Si q<0 alors la suite « q^n » n’a pas de limite finie quant n tend vers +oo. En effet, quant n est pair, la limite est +oo mais quant n est impair, la limite est –oo.
Si 0<q<1, alors la suite « q^n » a pour limite 0 quant n tend vers +oo.
En effet reprenons la suite Ln, q=1/3
Ln = (1/3)^n = (1^n) / (3^n)
1^n = 1 quelque soit n
3^n a pour limite +oo quant n tend vers +oo
Donc la limite de Ln est 1 / +oo = 0.

Pour Cn et Pn, comme q>1, leur limite est bien infini.

Mais s’il fallait juste conjecturer les limites, pour résoudre il faut prendre une calculatrice, et calculé le résultat des suites pour des valeurs de n très grande.

J’attends la suite.

Anonyme
Posté le 5 janv. 2014

En effet, j'ai compris mon erreur. 

Pour la question f), on a :

A0 = 0.4 environ , et A1 = A0 + C0 * (L1)² * V(3)/4

Mais je ne vois pas comment, a partir de cela, je peut retrouver une relation entre A(n+1), An, Cn et L(n+1) ?

Little Bear 7334
Little Bear 7334
Posté le 6 janv. 2014

f)
Si n=0 que devient A1 = A0 + C0 * (L1)² * V(3)/4 ?

A(n+1) = An + Cn * L²(n+1) * V(3)/4

Il s’agit de remplacer les indices de A, C et L par des expressions en indices avec des “n”
A1 devient A(n+1)
A0 devient A(n)
C0 devient C(n)
L1 devient L(n+1)

Avez-vous compris?

Anonyme
Anonyme
Posté le 6 janv. 2014

l'expression donné par littlebear s'explique en observant sur les dessins des trois premières étapes que l'aire est augmenté par l'aires des nouvaux triangles (L²n+1*V(3)/4) et qu'a chaque etape il y a autant de nouveaux triangle qu'il y avait de coté à l'étape precedente d'ou le facteur Cn qui apparait.


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