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Sujet du devoir
Exercice 3 : Le paradoxe d'Achille et de la tortue
Zénon d'Élée (-490; -430) était un philosophe grec célèbre pour les paradoxes qu'il a imaginé. L'un de ses paradoxes les plus connus est celui d'Achille et de la tortue. Il est dit qu'un jour, le héros grec a disputé une course avec le lent reptile. Comme Achille était réputé être un coureur très rapide, il avait accordé gracieusement à la tortue une avance de cent, mètres Pour Zénon, Achille ne rattrapa jamais la tortue. En effet lorque Achille arrive au point où était la tortue, celle-ci a parcouru une distance qui l'éloigne de ce point. Et ainsi de suite! Achille doit toujours parcourir une distance pour rattraper la tortue et ceci pendant un temps infini. Voici la réponse mathématiques.
La tortue a au point de départ 100m d'avance sur Achille. Achille court à une vitesse de 10m/s, et la tortue avance à une allure de 0.18km/h soit 0.05m/s. On note dn, la distance parcourue, en mètres, par Achille à l'étape n pour atteindre l'endroit ou se situe la tortue au début de l'étape. Ainsi, d1 = 100 : Achille doit parcourir 100 mètres pour atteindre le point de départ de la tortue.
1. Calculez la distance parcourue par la tortue pendant la première étape, c'est-à-dire pendant qu'Achille parcourt la distance d1.En déduire d2.
2. On note tn le temps qu'Achille met pour parcourir la distance dn. Déterminez tn, en fonction de dn.
3. En déduire que (dn) est une suite étrique de raison 1:200 et donnez l'expression explicite de son terme général.
4. On note D, la distance parcourue par Achille au bout de l'étape n, c'est-å-dire D, = d1 + d2 +...+d. Justifiez que Dn= 100* 1-(1:200)exposant n :1- 1:200 = 100 * 200- 1:200exposant n-1 :199
5. Conjecturez la limite de Dn. C'est la distance que parcourrait Achille pour rattraper la tortue, à condition d'avoir un temps infini pour le faire!
Où j'en suis dans mon devoir
Je bloque à a partir de la question 2 aidez moi svp.
1 commentaire pour ce devoir
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Bonsoir,
2) Dn est la distance parcourue à la n-ième étape par la tortue. La vitesse de la tortue est constante dans toutes les étapes. Tu connais le lien entre distance, temps et vitesse.
3) Que veut dire qu'une suite est arithmétique ou géométrique? Je pense qu'on te demande de montrer qu'elle est géométrique. Pour le prouver, il faut montrer que d_n+1 divisé par d_n est une constante. Tu as le droit de diviser par d_n car comme la tortue bouge, la distance est non nulle.
Il faut donc donner deux choses : la raison, et pour la calculer, il suffit de faire u_n+1/u_n, qui doit être constante, et le premier terme, u_0 ou u_1 selon ce que tu définis comme premier terme. Voilà de manière générale, il suffit donc d'appliquer. Par expression explicite, elle est donné par la formule u_n = r*(q^n) avec q la raison, et r, le premier terme de ta suite.
4) Alors, ce que tu écris, je ne comprends pas, mais je vois bien ce qu'on te demande.
La distance parcourue par Achilles à l'étape n est la somme de k = 0 à n de d_k.
Comme d_k est géométique, un théorème du cours te donne la valeur explicite de cette somme. Je te la rappelle : Somme de k = 0 à n de u_n = r * (q^(n+1)-1)/(q-1).
Deux remarques : attention aux bornes de la somme : je pars de 0, je finis à n. Deuxième remarque : il faut que q différent de 1 !
5) Comment ça conjecturer? C'est une limite de suite, tu peux même déterminer le résultat. Tu as des théorèmes qui te donnent la limite de q^n lorsque n tend vers +oo, selon différentes valeurs de q.
Bon courage,
Chen