Dm de Mathématiques, problème.

Sujet du devoir

[AB] est un segment mesurant 10cm. Pour chaque point M de [AB], on construit les points Q
et P tels que les triangles APM et MQB soient rectangles isocèles en P et Q. On pose AM=x

1.a. Démontrer que l'angle PMQ est droit.
b. Démontrer que PQ²= x²-10x+50

2.a Où doit-on placer M de telle sorte que PQ=6 ?

3.a. On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0;10] par f(x) = x²-10x+50.
Montrer que f admet un minimum et dresser son tableau de variation.
b. En déduire un encadrement de PQ², puis de PQ.
c. Déterminer alors les valeurs du réel L pour lesquelles il est possible de placer
le point M tel que PQ=L

4.a. Construire le poitn d'intersection I des droites (AP) et (BQ).
b. Démontrer que le triangle ABI est rectangle isocèle en I.
c. Montrer que PQ=L si , et seulement si, IM=L
d. Vérifier géométriquement le résultat établi à la question 3c.

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai donc besoins d'une simple vérification pour l'ensemble des questions et besoin d'être éclairer sur les questions 3.c. et 4.c. 4.d.
Merci, voilà ce où j'en suis.

1.a.

On sait que les points A, M et B sont alignés; L'angle AMB est donc un angle plat, de 180°
Or APM est un triangle isocèle rectangle en P. Les angles PAM et PMA sont donc égaux et l'angle APM vaut 90°.
La somme des angles d'un triangle vaut 180°, donc PAM + PMA + APM = 180
PAM + PMA + 90° = 180

PMA = PAM = 45°

De plus le triangle BMQ est isocèle rectangle en Q. Les angles QMB et QBM sont donc égaux et l'angle MQB vaut 90°.
La somme des angles d'un triangle vaut 180°, donc QMB + QBM + MQB = 180
QMB + QBM + 90 = 180

QMB = QBM = 45°

On sait qu'Un angle plat vaut 180°, donc AMP + PMQ + QMB = AMB
AMP + PMQ + QMB = 180
45° + PMQ + 45° = 180
PMQ = 90°

PMQ est donc un angle droit.

b.

Pq² = x² - 10x + 50

Dans le triangle MQD rectangle en Q
D'après le théorème de Pythagore.

MB² = MQ² + QB²
MB² = 2MQ²
(10 - AM)² = 2MQ²
(10-x)² = 2MQ²

MQ² = (10 - x)² / 2

Dans le triangle AMP rectangle en P
D'après le théoreme de Pytghagore.
AM² = PA ² + PM²
AM² = 2PA²
x² = 2PA²

PA² = x² / 2

Dans le triangle PQM rectangle en M;
D'après le théoreme de Pythagore.

PQ² = PM² + MQ²
PQ² = AP² + MQ²
PQ² = x& / 2 + (10 - x)² / 2
PQ² = x² / 2 + (10² - 2 * 10 * x + x²) / 2
PQ² = (x² + 100 - 20x + x²) / 2
PQ² = (2x² - 20x + 100) / 2
PQ² = x² -10x + 50 cm²

2.

PQ = 6
PQ² = x² - 10x + 50
6² = x² -10x + 50
36 = x² - 10x + 50
x² - 10x +15 = 0
Calcul du discriminant
D = b² - 4ac = 100 - 4 * 14 = 100 - 56 = 44 > 0
2 solutions
x1 = (-b - racineD) / 2a = 5 + racine11
x2 = 5 - racine11

Pour que PQ = 6, le point M doit être placé a 5 + racine11 ou 5 - racine11 cm du point A;

3.a.

f(x) = x² - 10x + 50
Tableau de variation.

a>0, la parabole sera orientée vers le haut

-b / 2a = 10 / 2 = 5

f(5) = 25


Le minimum que f définie sur l'intervalle [0 ; 10] admet un minimum en x = 5 et f(x) = 25.

b.

Encadrement de PQ²

25 < PQ² < 50 (strictement)

Encadrement de PQ

racine25 < PQ < racine50
5 < PQ < 5racine2 (strictement)

c. C'est ici que je ne comprend plus. J'ai donc besoin de votre aide, Merci.

4. a. schéma

b. On sait que l'angle PAM vaut 45°.
Or PAM = IAB = 45°

On sait que l'angle QBM = 45°
Or QMB = IBA = 45°

Deux angles du triangle ABI sont égaux on peut affirmer que le triangle est isocèle en I.

On sait que les angles IAB = IBA = 45°
Or dans un triangle la somme des trois angles d'un triangle vaut 180°.
Donc IBA + IAB + BIA = 180°
45° + 45° + BIA = 180
BIA = 90°

Le triangle IAB est donc rectangle en I

Le triangle IAB est isocèle rectangle en I.

c. Je ne comprend pas, et ne peux pas répondre sans la question 3.c.