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Sujet du devoir
Une urne contient n jetons : 5 jetons rouges et (n – 5) jetons noirs, numérotés de 1 à n, n ≥ 5.
Un joueur tire au hasard, successivement et sans remise, deux jetons de l'urne.
1. a. Soit Ω l'ensemble de tous les tirages. Déterminer le nombre de tirages possibles à l'aide d'un arbre pondéré.
b. On note P(n) la probabilité de l'événement A : " les deux jetons sont de couleurs différentes ".
Montrer que P(n)= (10n-50)/(n²-n)
2. Le joueur gagne 2 euros s'il réalise A et perd 1 euro dans le cas contraire. On note X le gain algébrique du joueur.
a. Donner la loi de probabilité de X et vérifier que E(X)= (-n²+31n-150)/(n²-n)
b. Déterminer la composition de l'urne pour que le jeu soit équitable. Conclure.
3. Déterminer la ou les valeurs de n pour laquelle le joueur a le plus de chance de réaliser l'évènement A. Précisez la probabilité correspondante
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Bonsoir,
1)a)Au départ, il tire une boule parmi n boules, il y a donc n possibilités.
Puis pour chaque n, il y a n-1 possibilités, car le tirage est sans remise.
Donc le nombre de possibilités est n(n-1).
b)A:"Les deux jetons sont de couleur différentes".
On cherche donc la probabilité d'avoir RN ou NR avec N=noir, et R=rouge.
Dans quel cas a t-on RN?
Dans le cas où on tire en premier une boule rouge, quel est cette probabilité?
Puis, il faut tirer une boule noire, la boule rouge étant tirée, et le tirage étant sans remise, il reste n-1 jetons dans l'urne, quel est la probabilité de tirer une boule noire?
Faire le même travail en déterminant la probabilité d'avoir NR et additionner ses deux probabilités, on obtient P(n).
2)a) La loi de probabilité de X est associer les valeurs prises par X à leurs probabilités.
Ici la variable est discrète, elle ne prend que deux valeurs, donc E(X)=2.P(A)-1.P(A_barre).
Avec P(A_barre) l’événement contraire de A.
b)Le jeu est équitable si E(X)=0.
3)Ici il faut maximiser P(n) en étudiant la fonction associée sur l'ensemble des entiers naturels, en prenant le ou les maximums correspondants entre 0 et 1, car P(n) est une probabilité.
tres long