DM maths comparaison de deux nombres (suites numériques)

Publié le 17 févr. 2017 il y a 3 jours par KinderPingouin - Fin › 20 févr. 2017 dans 8 heures
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Sujet du devoir

Bonjour,

Me voilà bloqué sur un exercice de mon devoir maison de maths, qui parait simple, mais je ne trouve pas la solution ou la manière d'arriver a prouvé mon raisonnement. Si quelqu'un pouvait me fixer une piste de réponse, cela m'aiderai énormement! Merci d'avance, et voici l'intitulé exact de l'exercice.

"Sans utiliser la calculatrice, comparer les nombres A et B suivants :

A=2017(1+2+3+...+2016)   et    B=2016(1+2+3+...+2017)"

 

Où j'en suis dans mon devoir

Pour mes recherches, j'ai d'abord pensé a utilisé une inconnue et éviter les calculs, pour cela j'ai remplacer (1+2+3+...+2016) dans les deux expressions par x, ce qui m'a donner A= 2017x et B=2016(x+2017).

J'ai ensuite fais A-B en déduisant que si A-B > 0 alors A >B et inversement

Le problème c'est qu'a partir de là je bloque, et je trouve que le raisonnement n'utilise pas les suites numériques, ni les variations de celles-ci, du coup j'ai abandonner l'idée, et je me retrouve totalement bloqué, si quelqu'un peut me venir en aide svp, ou au moin me dire si la base que j'ai effectuée est la bonne, ou si je me suis trompé de sens pour résoudre le problème ! Merci merci ! :) 




3 commentaires pour ce devoir


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Maths33
Maths33
Posté le 17 févr. 2017

Salut Kinder

Il faut réécrire A de telle sorte que B y apparaisse

je m'explique : 

A = 2017 x ( 1+2+3+.....+2016) 

on écrit tout simplement 2017 = 2016 + 1

donc A = (2016 + 1) x (1+2+3+.....+2016)

càd A = 2016x(1+2+3+.....+2016) + 1x(1+2+3+.....+2016)

L'astuce est de faire apparaître B dans le début de la réécriture de A, en faisant +2017-2017 au bout de la grande parenthèse, ce qui revient à ne rien changer, car on ajoute 0 au final

càd A = 2016x(1+2+3+....+2016+2017-2017) + (1+2+3+....+2016)

càd A = 2016x(1+2+3+....+2017) - 2016x2017 + (1+2+3+.....+2016)

càd A = B - 2016x2017 + (1+2+3+....+2016)

d'après la formule de calcul de somme d'une suite de raison 1 : S = (N x (N+1))/2

Cacul de la somme dans la grande parenthèse : S = (1+2+3+....+2016) = (2016x2017)/2

on a donc A = B - 2016x2017 + (2016x2017)/2

donc A = B - 2S + S

donc A = B - S

ou encore : A - B = - S

Or S > 0 (somme de nombre positifs), donc  - S< 0

càd A - B < 0

;)

KinderPingouin
KinderPingouin
Posté le 18 févr. 2017

Bonsoir à toi, 

j'ai bien suivi ton résonnement, et effectivement je me suis rendu compte qu'il fonctionnait, mais entre temps j'ai persévéré et trouvé une "autre" façon de résoudre le problème, je m'explique :

Je suis partie de la même base que j'ai expliqué lors de mon avancement; soit A = 2017x et B= 2016x+ (2016*2017) avec x= (1+2+3+...+2016).

Je me retrouvais bloqué lorsque j'ai eu l'idée de développer partiellement l'expression de x, en partant sur la même propriété que toi comme quoi S = n(n+1) /2

J'en ai déduis alors que x=2016*2017/2 

J'ai remplacé x dans A et B par cette valeurs et ca a donné le résultat suivant :

A= 2016*2017^2/2 et B= 2016^2*2017/2+2016*2017

Jusque la, je ne pense pas m'être égaré ou trompé dans les calculs, ensuite j'ai appliqué le raisonnement comme quoi, si A-B> 0 alors A>B et inversement.

J'ai donc posé A-B : (2016*2017^2/2)-(2016^2*2017/2+2016*2017)

J'ai factorisé la sommes par un facteur commun pour trouver : 

2016(2017^2/2-2016*2017/2-2017)

Je mets ce qu'il y a entre parenthèse au même dénominateur, ce qui nous donne : 

2016((2017^2-2016*2017-2*2017)/2)

J'ai tout de suite remarqué un autre facteur commun au niveau du numérateur, et j'ai encore factoriser pour arriver au final a cette forme 2016((2017(2017-2016-2))/2)

Au final je trouve que A-B = 2016 * -2017/2 qui est forcement < 0, et prouve donc que B est plus grand que A.

J'ai vérifié ensuite le résultat à la calculatrice, et il s'avère que le résultat obtenue est le même que lorsque j'entre la différences des expressions du sujets directement, de fait, je suppose qu'il est correct, mais j'aimerai avoir votre avis sur la manière dont j'y suis parvenu, est-elle acceptable selon vous ? Merci de me répondre rapidement pour que je mette tout rapidement au propre! Bonne soirée/nuit.

Maths33
Maths33
Posté le 19 févr. 2017
re Kinder ! fait comme tu le sens .... on trouve la même chose au final, oui A - B est négatif, à toi de voir quels calculs sont plus simples ... en tout cas le but de l'exercice est d'utiliser les sommes de suites, ce que tu as fait au final ;) Attention dans ton texte, vers la fin, tu dois écrire A - B = - 2016x2017/2, attention où tu mets le signe (-) pour ne pas te tromper quand tu fera au propre

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