DM pour la rentré JE BLOQUE

Sujet du devoir

EN ÉCONOMIE

Une entreprise fabrique des rétroviseurs pour voitures. La fonction « coût total » est définie sur I=[0;11] par C(x)=0,3x3−3x2+9x+6.

C(x) est exprimée en millier d’euros et x est le nombre de milliers d’articles fabriqués. Le prix de vente de 1000 articles est 8025€.

On suppose que chaque article fabriqué est vendu.

La courbe représentative de la fonction C est représentée ci-dessous dans un repère orthogonal.

1. On note R la fonction recette, exprimée en millier d’euros, relative à la vente de x milliers d’articles.

a. Expliquer pourquoi R(x)=8,025x.

b. Dans le repère ci-dessus, tracer la courbe représentative de R.

c. Déterminer graphiquement l’intervalle de production qui permet de réaliser un bénéfice.

d. Déterminer graphiquement la quantité x0 que l’entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal.

2. Le bénéfice réalisé par cette entreprise est donné, en millier d’euros, par la fonction B définie et dérivable sur I. On note B′ la fonction dérivée de B.

a. Montrer que, pour tout x∈I, B′(x)=−0,075(6x−1)(2x−13).

b. Étudier le signe de B′(x) puis dresser le tableau de variations de B.

c. Retrouver, à partir du tableau de variations, la valeur de x0. Justifier.

d. Quel est le montant, en euro, du bénéfice maximal ?