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Sujet du devoir
Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d'objets. Chaque objet est vendu 100 €.
Le coût de production unitaire U(x) exprime le coût de production d'un objet si x sont fabriqués et vendus. On a :
U(x) = x-10+(900/x)
1. Calculer le coût unitaire pour 30 objets fabriqués et vendus.
2. En déduire le coût total pour 30 objets fabriqués et vendus.
3. Montrer que : x-10+(900/x) <50 ↔ (x²-60x+900)/x
4. Résoudre : (x²-60x+900)/x
5. En déduire le coût unitaire minimal et le nombre d'objets à fabriquer pour l'obtenir.
6. En déduire le bénéfice maximal de l'entreprise.
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai quasiment terminé le DM mais je ne pense pas que ce que j'ai mis soit correct c'est pour cela que je fais appel à vous pour m'aider ! J'ai mis en gras les questions où j'ai vraiment besoin de votre aide le reste est pour moi correct mais si c'est faux n'hésitez pas à me le dire !
Pour la question 1, j'ai trouvé 1.66 € de coût unitaire pour l'objet vendu en faisant :
U(30) = 30-10+(900/30)
= 20+30
= 50
50/30 = 1.66 € environ
La question 2 est un problème car je ne comprends pas ce que mon professeur à voulu dire.. Je pense que c'est 50 € mais cela me semble trop facile.. Si vous pouviez m'aider là-dessus ça serait sympa !
Pour la question 3, j'ai fais ça :
x-10+(900/x) < 50
x-60+(900/x) < 0
(x-60+900)/x < 0
Pour la question 4, j'ai fais un tableau de signe pour chaque fonction :
Une ligne pour : x²-60x+900
Une autre pour : x
La dernière pour : (x²-60x+900)/x
Je trouve 0 en valeur impossible car divisé par 0 est impossible et 30=0 car 30²+60*30+900=0
S = ] - infini ; 0 [ U ] 30 ; + infini [
Mais vu qu'on ne peut pas produire -1 objet l'intervalle ] - infini ; 0 [ est impossible
Pour la question 5, je n'ai encore pas bien compris ce que souhaite mon professeur..
Pour la question 6, il me semble que le bénéfice maximal serait pour + l'infini mais je ne suis pas sûr
10 commentaires pour ce devoir
3)
Euh !! il manque un bout de l’énoncé non ?
Pas grave, les calculs faits sont bons.
4) Désolé mais c’est faux.
Déjà, il est difficile de fabriquer moins d’objet qu’il en a été fabriqué.
Donc x appartient à R+ , x ∈ [ 0 ; +oo[
Comme on a x au dénominateur, effectivement x=0 est exclus.
Il reste le numérateur x² - 60x +900, est il positif ou négatif ?
Comment avez-vous déterminé sn signe ?
Dans ce genre de problème, il faut toujours factoriser.
Ici il y a une identité remarquable : x² - 60x +900 = x² - 2*30x + 30² = (x-30)²
Et un carré est toujours positif.
Donc x² - 60x +900 > 0
Donc « (x² - 60x +900) / x » est du même signe que « x ».
Donc quel est l’ensemble des solutions de x² - 60x +900 / x < 0 ?
Pour vérifier, tracez la courbe x² - 60x +900 / x pour voir quant elle est négative, passe en dessous de l’axe des abscisses.
L'ensemble des solutions est donc ] 0 ; 30 [ ?
Vérifions ] 0 ; 30 [ .
Prenons par exemple x=10 . 10 est bien entre 0 et 30.
Donc x² - 60x +900 / x devrait être négatif pour x=10.
(10² -60*10 + 900) / 10 = (100 – 600 + 900) / 10 = 400 / 10 = 40
Mince, ce n’est pas négatif. Votre ensemble de solution n’est toujours pas bon.
Avez-vous bien suivi ce que j’ai écrit ?
Avez-vous tracé la courbe ?
Relisez mes lignes et répondez à chaque question.
Faites un tableau des signes.
Si vous avez un doute, dites-le.
Donc si j'ai bien compris x² - 60x +900 / x < 0 est impossible car x² - 60x +900 / x < 0 = (x-30)²
Et un carré est toujours positif. Donc c'est l'ensemble vide ?
Oui c'est l’ensemble vide. Pas de solution pour x>0
5)
J’attends la réponse de la question 4 pour continuer.
Puisque c’est l’ensemble vide, cela signifie que la fonction U(x) est toujours au dessus de 50.
Vous avez prouvé que U(x) a une solution (pour x=30). Donc quel est le minimum de U(x) ?
Tracez la courbe de U(x) pour vous en convaincre.
6)
Un objet coute 100€ , c’est constant quelque soit le nombre d’objets fabriqués et vendus.
Donc le bénéfice est maximal quant le cout est minimal puisque le bénéfice c’est la recette unitaire (prix de vente ) moins le cout unitaire.
Faites signe.
Ils ont besoin d'aide !
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Bonjour,
1) et 2)
Il faut bien lire l’énoncé : U(x) est le cout unitaire d’un seul objet.
Les calculs que vous avez faits sont bons si U(x) était le cout total.
Pour la question 1) , il fallait s’arrêter à U(30) = 50.
Cela signifie que si l’usine fabrique 30 objets, un objet lui coute 50€
Du coup pour la question 2), c’est 30 * 50 = 1500€
Est-ce plus clair ?
Oui bien plus clair merci beaucoup et pour le reste vous avez une idée ?
Cela arrive. ;-))