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Sujet du devoir
Salut à tous, j'ai un exercice à faire pour mon DM de Maths.
Il porte sur l'étude de signe d'un polynome du second degré. Il y a 4 questions, j'ai réussi a répondre qu'à une seule :////
Le sujet :
Soit a un nombre réel. On considère l'équation : (Ea) = x**2+(2-a)x-a-3=0
1. Montrer que pour tout réel a, l'équation (Ea) admet deux racines distinctes x1 et x2
2. Exprimer en fonction de a, la somme et le produit des racines de l'équation (Ea).
3. En déduire que x1**2 + x2**2=a**2-2a+10
4. Déterminer le réel a tel que la somme des racines de l'equation (Ea) soit minimale. Que valent x1 et x2 dans ce cas ?
Voilà.
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai fais le 1. En calculant le discriminant. J'ai donc trouvé 16+a**2. Ce qui signifie que l'équation possède 2 solutions réeles.
Seulement je ne comprends pas la question 2. Devais-je calculer des valeurs exactes pour x1 et x2 ?
Merci de votre aide, c'est très gentil !!
6 commentaires pour ce devoir
Pour la question 1)
Cela ne suffit pas.
a est un nombre précis. 16+a**2 est aussi un nombre précis. Il faut prouver que ce nombre est strictement positif quel que soit a.
( C'est facile à prouver a**2 est toujours positif (ou nul) quel que soit a par exemple si a=0 (0)**2 == 0, si a=20 20**2=400, si a=-20 (-20)**2 = 400. Dans ton cours il doit y avoir une propriété a**2 >=0 quel que soit la valeur de a )
quelle que soit la valeur de a, a**2 >= 0 donc 16+a**2 >=16 et 16>0 donc 16+a**2 > 0 donc le polynome a deux solutions distinctes quelles que soit la valeur de a
Merci beaucoup ! Pour etre honnete c'est ce que j'avais fait, pas avec autant de précision mais en étant rapide, clair et efficace. Je ne l'ai juste pas mentionné dans mon sujet.
D'ailleurs, merci beaucoup pour ton autre réponse car "ma méthode" du produit x1 x x2 et de la somme x1 + x2 ne marche pas, j'essaie la tienne ! Merci beaucoup encore une fois :D
Content de t'avoir aidé. Mais ta méthode pour la somme doit fonctionner. Regarde la page que j'ai mentionné. Il utilisent ta méthode pour trouver les valeurs de S et P. Cordialement
Serge
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++ En faisant la somme des racines x1 et x2 (que j'ai calculé selon [-b**2+V(Delta)]/2a)) j'ai trouvé 2+a.
Est-ce que c'est ce que je dois faire ?
Pour le 1)
Ta méthode pour calculer la somme est juste mais dans ton cours il doit y avoir un théorème sur la somme et le produit des racines. Inutile de calculer les racines pour cela.
Si le polynome est a.x**2+b.x+c
Alors S=-b/a et P=a/c (http://www.warmaths.fr/MATH/secondegre/SomProduit.htm)
Donc ta somme est presque juste.