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Sujet du devoir
Bonjour à tous,Je suis en 1ere S. J'ai un DM de maths où je ne comprends vraiment rien. Quelqu'un saurait-il m'aider à avancer ?
Voici le sujet:
On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel par
u0 = 0
un+1 = racine (un+2)
On note f la fonction associée définie sur [0;+∞[ par f (x) = (racine x + 2) .
I - Représentation et conjectures
Dans un repère orthonormal (O;i;j) d'unité graphique 4 cm, tracer la courbe représentative
de f sur l'intervalle [0;2,5] et la droite y = x .
Cette représentation graphique est à faire à la main (mais on peut éventuellement joindre en plus un graphique fait sous Geogebra)
Représenter les premiers termes de la suite et conjecturer dans quel intervalle semblent rester les termes de la suite (un ) ainsi que le sens de variation.
II - Minorant et majorant.
1) Montrer que f est croissante sur [0;+∞[ et dresser son tableau de variation .
2) Montrer que si 0 ≤ x ≤ 2 alors 0 ≤ f (x) ≤ 2 .
3) Soit un un terme dans l'intervalle [0;2] que peut-on dire du terme suivant ? On admet alors que, pour tout n, 0 ≤ un ≤ 2 .
III - Sens de variation.
1) Montrer que pour tout entier n on a un+1 − un = (un +2 − u2n) / (racine(un + 2) + un)
En déduire que un+1 − un est du signe du numérateur.
2) Étudier le signe de −x2 + x + 2 et en déduire le signe de un+1 − un . Conclure sur le sens de variation de la suite.
IV - Pour aller plus loin
1) Montrer que pour tout entier n on a : 2 − un+1 = (2 − un)/ (racine(un+ 2) + 2)
2) Montrer que le dénominateur est supérieur à 2 pour tout n . En déduire que 0 ≤ 2 − un+1 ≤ 1/2(2 − un ) .
3) Justifier que 0 ≤ 2 − u0 ≤ 2 ; 0 ≤ 2 − u1 ≤ 1 ; … ; 0 ≤ 2 − un ≤ 1/(2n-1) . Lorsque n devient très grand, que peut-on dire des termes un ?
Voilà :s aidez moi svp je suis perdu
Où j'en suis dans mon devoir
4 commentaires pour ce devoir
Merci de m'aider je vais essayer tout de suite :) !
Je pense avoir réussi le I et II mais je n'arrive pas pour le III :s
*1) Montrer que pour tout entier n on a un+1 − un = (un +2 − u^2indice n) / (racine(un + 2) + un)
En déduire que un+1 − un est du signe du numérateur.
En déduire que un+1 − un est du signe du numérateur.
Ils ont besoin d'aide !
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I. Tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée, et une droite d'équation y=x, tu devrais y arriver.
Ensuite, tu peux te servir de ces deux éléments pour placer graphiquement des éléments de la suite sur l'axe des abscisses (normalement, ça devrait être dans ton cours) :
* Tu places le premier élément sur l'axe des abscisses
* Tu montes jusqu'à la courbe de la fonction racine carrée (et tu marques le trait qui va de l'un à l'autre)
* Tu te déplaces vers la gauche ou vers la droite, jusqu'à atteindre la droite d'équation y=x
* Tu descends jusqu'à l'axe des abscisses.
Et là, tu as le second point de la suite. Et tu peux recommencer.
En suite, on te demande « À ton avis, que va-t-il se passer si on trace beaucoup de points ? Où vont-ils se placer ? »
II. 1) Vous avez vu la dérivation ?
2) Tu connais la valeur de f(0) et (grossièrement) celle de f(2). Et il y a un théorème qui permet de s'en servir.
3) un+1 = f(un). Or, 0 ≤ un ≤ 2. Qu'en déduis-tu pour un+i (c'est à dire f(un)) ?
Je te laisse essayer à l'aide des indications que je t'ai données.
Bon courage pour la suite.
Valentin