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Sujet du devoir
Bonjour, j'ai un DM de math à rendre... il me reste plus qu'un seul exercice et j'avoue que je suis vraiment bloquée dessus...Voici l'exercice en question:
Un capital Co = 10 000€ est placé sur un compte rapportant un intérêt de 4% par an.
À la fin de chaque année un montant de 20€ est prélevé par la banque pour frais de gestion. On nomme Cn le montant disponible sur le compte à la fin de la n-ième année avant le prélèvement.
1.a. Calculer C1 et C2
b. Justifier que Cn+1 = Cn x 1.04 - 20.8 (n+1 est en indice)
2.a. Posons Un = Cn - 520 pour tout n supérieur ou égale à 0.
b. Montrer que la suite (Un) est géométrique; précisez sa raison et son prmier terme.
c. Exprimer Un puis Cn en fonction de n
3.a. Étudier le sens de variation de la suite (Cn)
b. Déterminer au bout de combien d'années le capital de départ aura au moins doublé.
Merci beaucoup encore une fois...
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai deja repondu à la question 1) et puis la 2) je l'ai repondu par rapport a la reponse de la un c'est a dire C1 et C2 -> en faisant c1=c1= 1.04x c0-20.8 cette reponse devrait faire 10380: verifions
1.04 x10000-20.8 = 10380
Je suis bloqué par la suite ... Merci pour votre aide
8 commentaires pour ce devoir
1) On definit Cn comme le montant disponible sur le compte à la fin de la neme année AVANt le prelevement
donc normalement
C1=10000*1.04
C2 = (C1-20)*1.04
Cn+1= (Cn-20)*1.04 = Cn*1.04 - 20.8 ..ok
2) On donne Un = Cn - 520
il te suffit de faire
Un+1=Cn+1-520
= 1.04*Cn-20.8 -520
= 1.04*Cn - 1.04*20 - 1.04*500
Un+1= 1.04*(Cn-20-500)
=1.04*(Cn-520)
or Un=cn-520 donc
Un+1=1.04*Un
suite geometrique
donc Un peut s'ecrire sous la forme Un = U0*1.04^n
3) on te demande de calculer en combien d'année Cn >=20000
ici il faut que tu utilise Un
Un=Cn-520 -> Cn= Un+520
Un+520 > 20000
Un > 20000-520
Un > 19480
U0*1.04^n > 19480 U0=C0-520 = 9480
1.04^n > 10000
n.ln(1.04) > ln(10000) n > ln(10000)/ln(1.04) n > 176.12
donc normalement
C1=10000*1.04
C2 = (C1-20)*1.04
Cn+1= (Cn-20)*1.04 = Cn*1.04 - 20.8 ..ok
2) On donne Un = Cn - 520
il te suffit de faire
Un+1=Cn+1-520
= 1.04*Cn-20.8 -520
= 1.04*Cn - 1.04*20 - 1.04*500
Un+1= 1.04*(Cn-20-500)
=1.04*(Cn-520)
or Un=cn-520 donc
Un+1=1.04*Un
suite geometrique
donc Un peut s'ecrire sous la forme Un = U0*1.04^n
3) on te demande de calculer en combien d'année Cn >=20000
ici il faut que tu utilise Un
Un=Cn-520 -> Cn= Un+520
Un+520 > 20000
Un > 20000-520
Un > 19480
U0*1.04^n > 19480 U0=C0-520 = 9480
1.04^n > 10000
n.ln(1.04) > ln(10000) n > ln(10000)/ln(1.04) n > 176.12
1-a :
c1=(10000+400)-20 = 10380 (400= 4% de C0)
c2=(10380+415,2)-20= 10395,2(415.02= 4 % C1)
1-b: pour la justification tu fait le calcule que ta déjà fais !
2-a : Un=(Cn-1*1.04-20.8)-520
ce qui nous donne Un= 1.04*Cn-1 - 540.2
c1=(10000+400)-20 = 10380 (400= 4% de C0)
c2=(10380+415,2)-20= 10395,2(415.02= 4 % C1)
1-b: pour la justification tu fait le calcule que ta déjà fais !
2-a : Un=(Cn-1*1.04-20.8)-520
ce qui nous donne Un= 1.04*Cn-1 - 540.2
Merci beaucoup a vous deux, mon erreur etant tres bête change tout puisqu'il n'y a pas les 20 Euros de frais de gestion, tout s'éclaire merci beaucoup
Pour le 2°, il faut se rappeler de la définition d'une suite géométrique.
Pour qu'elle le soit, il faut que la quotient Un+1/Un soit indépendant de n, il est appelé raison.
Vous devez donc rechercher ce que donne ce quotient.
Indices, il faut remplacer les expressions Un+1 et Un par leur valeur en fonction de Cn+1 et Cn,
puis essayer d'éliminer un des termes (ici Cn+1) en le remplaçant par sa valeur (démontrée en 1°) en fonction de Cn
ensuite on simplifie les termes obtenus en remarquant que 520/20,8 = 25
Vous devez au final obtenir la raison.
Pour qu'elle le soit, il faut que la quotient Un+1/Un soit indépendant de n, il est appelé raison.
Vous devez donc rechercher ce que donne ce quotient.
Indices, il faut remplacer les expressions Un+1 et Un par leur valeur en fonction de Cn+1 et Cn,
puis essayer d'éliminer un des termes (ici Cn+1) en le remplaçant par sa valeur (démontrée en 1°) en fonction de Cn
ensuite on simplifie les termes obtenus en remarquant que 520/20,8 = 25
Vous devez au final obtenir la raison.
Merci beaucoup j'ai presque finis sauf lorsque lon me demande d'exprimer un puis cn en fonction de n je dois faire quoi comme demarche?
Ah nan cest bon :)
Merci beaucoup mais je suis bloqué comment dois-je etudier le sens de variation de la suite?
Je fais Cn+1-Cn
ou Cn+1/Cn?
J'ai trouvé Cn= u0*1.04^n +520
et j'ai Cn+1= 1.04*Cn-20.8 donc Cn+1= 1.04*(u0*1.04^n+520)-20.8
Je suis bloqué =/
Je fais Cn+1-Cn
ou Cn+1/Cn?
J'ai trouvé Cn= u0*1.04^n +520
et j'ai Cn+1= 1.04*Cn-20.8 donc Cn+1= 1.04*(u0*1.04^n+520)-20.8
Je suis bloqué =/
Ils ont besoin d'aide !
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Pour vous faire repartir du bon pied, je me permets de vous faire remarquer une petite erreur dans vos premières réponses
Si Cn est le montant de l'épargne AVANT le prélèvement de 20€,
alors C1= 10000 x 1,4 = C0 x 1,4 = 10400€
puis C2 = (C1 - 20)x1,04 = C1x1,04 - (20x1,04) = 1,04xC1 - 20,8
on retrouve bien la formule Cn+1 = Cn x 1,04 - 20,8
mais seulement à partir de la deuxième année car la première année est faussé par le décalage entre le calcul d'intérêt et le paiement des frais.
On démontre également de la même façon l'équation demandée
Cn+1 = (Cn - 20) x 1,04
distribution
Cn+1 = (Cn x 1,04) - (20 x 1,04)
on retrouve
Cn+1 = 1,04Cn - 20,8