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Sujet du devoir
Démontrer la formule donnant la somme des carrés des entiers condécutifs de 1 à n.Pour cela, on note f la fonction cube (cad x->x^3) et on définit la suite (Vn) sur N* par Vn=f(n+1)-f(n).
1) Déduire de la définition de la suite(Vn) que V1+V2+...+Vn=(n+1)^3 - 1^3 puis dévellopper ce résultat.
2) Montrer par ailleurs que pour tout n de N*, on a Vn=3n^2+3n+1.
3) En déduire que V1+V2+...+Vn=3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+...+n)+n.
4) A l'aide des résultats des questions 1 et 2, montrer que 1^2+2^2+...+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6
Où j'en suis dans mon devoir
Je N'arrive vraiment pas LA QUESTION 3. Pour les questions 2 et 4 j'ai trouvé :2) Vn=f(n+1)-f(n)
=(n+1)^n-n^3
=n^3+2n^2+n+n^2+2n+1-n^3
=3n^2+3n+1
et
4)on sait que V1+V2+...+Vn=3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+...+n)+n
donc : 3n^2+3n+1 = 3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+...+n)+n
et après on continue pour tomber sur l'équation de la question.
4 commentaires pour ce devoir
désolé mais la question j'avais trouvé c'est la question 3 ou je suis bloqué, mais merci déja.
Même raisonnement,
V1=3*1²+3*1+1
V2=3*2²+3*2+1
V3=3*3²+3*3+1
Vn=3*n²+3*n+1
Addition membre à membre :
V1+V2+V3+....+Vn=3*(1²+2²+3²+...+n²)+3*(1+2+3 +n)+n
Pour la 4)
Si S=1+2+3+.....+n il peut aussi s'écrire
S=n+(n-1)+(n-2) +1
Additionner membre à membre :
2S=(n+1)+(n+1)+.....+(n+1)
2S=n(n+1) => S=n(n+1)/2
V1=3*1²+3*1+1
V2=3*2²+3*2+1
V3=3*3²+3*3+1
Vn=3*n²+3*n+1
Addition membre à membre :
V1+V2+V3+....+Vn=3*(1²+2²+3²+...+n²)+3*(1+2+3 +n)+n
Pour la 4)
Si S=1+2+3+.....+n il peut aussi s'écrire
S=n+(n-1)+(n-2) +1
Additionner membre à membre :
2S=(n+1)+(n+1)+.....+(n+1)
2S=n(n+1) => S=n(n+1)/2
Merci beaucoup a toi.
Ils ont besoin d'aide !
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1)
V1=f(2)-f(1)=2^3-1
V2=f(3)-f(2)=3^3-2^3
V3=f(4)-f(3)=4^3-3^3
Vn=f(n+1)-f(n)=(n+1)^3-n^3
----------------------------
En faisant la somme membre à membre on a
V1+V2+V3+.....+Vn=(n+1)^3-1
(le 2^3 de V1 s'annule avec celui de V2, le 3^3 de V2 avec celui de V3, ainsi de suite)