Les suites, avec Application économique

Sujet du devoir

PARTIE A : Etude d'une suite

On considère la suite (Un) définie par U0=900 et, pour tout entier naturel n,
Un+1=0,6Un+200 (1)

1)Calculez U1 et U2

2) ON considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n,par Vn= Un-500 (2)


a)Exprimez Vn+1 en fonction de Un+1, puis à l'aide de la formule (1), Vn+1 en fonction de Un

b)Déduisez-en à l'aide de l'égalité (2) l'expression de Vn+1 en fonction de Vn.

c) Quelle est la nature de la suite (Vn) ? Donnez son premier terme et sa raison.

d) Exprimez Vn en fonction de n . En deduire que :
Un = 400 x (0.6)^n +500

e) Montrez que n est décroissante.

PARTIE B :Application économique .

Dans un pays, 2 sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Les clients souscrivent, le 1er Janvier, soit auprès de A, soit aurpsè de B, un contrat d'un an au terme duquel, ils sont libres à nouveau de choisir A ou B. L'année 2000, la société A détient 90% du marché et la société B, qui vient de se lancer 10%. On estime que, chaque année, 20% de la clientèle de A change pour B, et de même 20% de la clientèle de B change pour A.
On considère une population représentative de 1000 clients de l'année 2000. Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 sont clients de la société B.
On veut etudier l'évolution de cette population les années suivantes.

1) a)Vérifiez que la société A compte 740 clients en 2001. Calculez le nombre de clients de A en 2002.

b) On note an le nombre de clients de A l'année (2000+n).
Etablissez que an+1 = 0.8an + 0.2(1000-an)
Deduisez-en que an+1 = 0.6an + 200

c)Exprimez an en fonction de n.


2) a) Montrez que, quelque soit l'entier n, an>500.

b) Montrez que, quelque soit l'entier n>10, on a an<502.

c) Que peut-on en déduire pour l'évolution du marché des télécommunications dans ce pays?

Où j'en suis dans mon devoir

Pour la PARTIE A :
J'ai reussi à trouver les questions 1 / 2a
Pour la question 2c , il me semble que c'est une suite géometrique mais je ne sais pas comment le demontrer.

Pour la PARTIE B : J'attends d'avoir terminer la PARTIE A.
Mais j'ai deja commencer à reflechir à quelques questions mais je n'y arrive pas vraiment .