Optimiser un prix

Sujet du devoir

Bonjour pouvez-vous m’aider? C’est un dm de maths que je n’arrive pas à faire, merci beaucoup !

Le gérant d’un magasin de sport souhaite faire construire une aire rectangulaire à l’extérieur du magasin pour permettre aux dients de tester certains produits. Il veut que cette zone occupe 200 m² et que soit installée, sur trois de ses côtés, une clôture en bois coûtant 12 € le mètre. De plus, le long du côté attenant au mur du magasin, il fera poser une rangée de dalles en béton à 15 € le mètre.

Soient y la largeur et x la longueur du rectangle délimitant la zone. Le gérant aimerait connaitre les valeurs de x et de y qui minimiseraient le prix de l'entourage de cette aire sachant que x est compris entre 10 et 40 m.

1. a. Montrer que y =200/x

b. Montrer que le prix p de la construction de l'entourage peut s'exprimer en fonction de x et que: p(x) 27x+4800/x 

2. étudier les variations de p sur l'intervalle [10;40].

3. Determiner les dimensions de la zone pour que le prix de l'entourage soit minimal.

Combien le gérant devra-t-payer ?