Suite de Fibonacci (lapin)

Publié le 1 juin 2013 il y a 10A par Anonyme - Fin › 3 juin 2013 dans 10A
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Sujet du devoir

Bonjour, j'ai vraiment du mal sur un DM à rendre lundi sur les suite de Fibonacci. Si vous pourriez m'aider j'en serais reconnaissante.

Descendance d'un couple de lapin.
"Combien de couples de lapin obtiendrons nous à la fin d'une année si, en commençant avec un couple, chacun des couples produit chaque mois un nouveau couple lequel devient productif au second mois de son existence ?"
On note Un le nombre de couples au bout de n mois et on débute avec un couple de lapins nouveau-né.
Donc u0=1
Ce couple ne commence à se reproduire qu'au bout de deux mois, donc U1=1.
A la fin du 2e mois, un nouveau couple est né : U2=2
A la fin du 3e mois, le premier couple a donnée naissance à un autre couple (mais pas le second, qui ne commence à se reproduire qu'au bout de deux mois), donc U3=3

1) Calculer U4, U5 et U6
2) Justifier que, pour tout entier n supérieur ou égale 2, on a :
Un = Un-1 + Un-2
Autrement dit à chaque terme de la suite de Fibonacci, à partir du troisième, est la somme des deux autres termes qui le précèdent.
3) A l'aide de la calculatrice, calculer les termes de cette suite jusqu'à U12 et en déduire la réponse au problème initial.

Où j'en suis dans mon devoir

Je suis en train d'essayer déjà de comprendre l'exercice.
Je n'arrive vraiment pas aux suites numérique.
Merci de votre aide.



4 commentaires pour ce devoir


Anonyme
Posté le 1 juin 2013
Avec les suites (comme assez souvent en maths ou en informatique, en fait), il est souvent utile de "jouer" avec le problème sur des petites valeurs. C'est d'ailleurs ce que demande la question 1.

Dans ce problème, il faut à la fois compter le nombre de couples de lapins, mais aussi se souvenir quand ils sont nés, puisqu'ils ne se reproduisent pas avant le deuxième mois.

Ce qui me semble le plus simple c'est de faire un tableau avec trois colonnes : le nombre de couples qui viennent de naître, le nombre de couples qui sont nés le mois d'avant, et le nombre de couples qui sont nés il y a 2 mois ou plus et qui peuvent donc se reproduire. Et sur chaque ligne, c'est un "u".

On commence donc :

Mois | Nouveaux-nés | Nés le mois d'avant | Adultes | Total
u0 | 1 | 0 | 0 | 1

Ensuite que se passe-t-il chaque mois ?

1. Les lapins vieillissent, et donc, se décalent d'une case vers la droite (jusqu'à la case adulte).

2. Les lapins adultes procréent, ce qui créé autant de nouveaux-nés que qu'il y a d'adultes.

Pour le premier mois on a donc (toujours pas d'adultes, donc pas de procréation, mais les lapins grandissent) :

Mois | Nouveaux-nés | Nés le mois d'avant | Adultes | Total
u0 | 1 | 0 | 0 | 1
u1 | 0 | 1 | 0 | 1


Et pour le deuxième mois, les lapins deviennent adultes et procréent :

Mois | Nouveaux-nés | Nés le mois d'avant | Adultes | Total
u0 | 1 | 0 | 0 | 1
u1 | 0 | 1 | 0 | 1
u2 | 1 | 0 | 1 | 2

Et enfin, pour le troisième mois, les lapins nouveaux-nés grandissent, et les adultes procréent :

Mois | Nouveaux-nés | Nés le mois d'avant | Adultes | Total
u0 | 1 | 0 | 0 | 1
u1 | 0 | 1 | 0 | 1
u2 | 1 | 0 | 1 | 2
u3 | 1 | 1 | 1 | 3

Et maintenant que se passe-t-il aux mois suivants (4, 5, 6) ? C'est la question 1, à partir de ce tableau, tu devrais pouvoir y répondre.

Ensuite, pour la question 2, il faut essayer de transférer en formule les opérations qu'on fait sur le tableau, et de simplifier le tout. Souvent (mais pas toujours) une fois qu'on a bien compris le fonctionnement d'une suite en "jouant" avec sur les premiers termes, la formule n'est pas trop compliquée à établir.

Voilà j'espère que ça va t'aider à avancer par toi-même, et bon courage !
Anonyme
Posté le 1 juin 2013
Bonjour, tout d'abord merci pour votre aide.
Jai repris votre méthode du tableau; donc
mois / nouveau né / Né le mois d'avant / Adulte / Total

U4 / 2 / 2 / 2
Est ce que j'ai bien compris ? il me semble avoir fait une erreur sur "né le mois d'avant"
Anonyme
Posté le 1 juin 2013
Total 6
Anonyme
Posté le 1 juin 2013
Pour la question 1) J'ai trouvé : U4=5 ; U5=8 ; U6=13, soit ;
U3=U2+U1=3
U4=U3+U2=5
U5=U4+U3=8
U6=U5+U4=13
Maintenant je passe à la question 2)

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