Tangentes et coniques

Sujet du devoir

Bonjour,

Hyperbole

Enoncé:
Soit f la fonction définie sur]0;+∞ [par f(x)=1/x. Soit H sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O;i,j)
1. Calculer le nombre dérivé f '(2).
2. Soit A le point de H d'abscisse 2.
Déterminer une équation de la droite (D) tangente à H en A.
3. La droite (D) coupe l'axe des abscisses en M et l'axe des ordonnées en N.
Déterminer les coordonnées des points M et N.
4. Démontrer que les points M, N et O sont sur un même cercle de centre A.
5. Soit a un réel de ]0 ; +∞[.
a. Reprendre la démarche des questions précédentes si le point A a pour abscisse a.
b. En déduire un moyen simple de construire la tangente en un point de H.
6. Soit P(α ; β ) un point quelconque du plan. On se propose de déterminer le nombre de tangente a H passant par P.
a.On suppose que (d) passe par P (on obtient une équation de second degrès d'inconnue b).
b. Déterminer une relation liant α et β pour que le problème ait des solutions. Indiquer , suivant les cas, le nombre de ces solutions.

Où j'en suis dans mon devoir

1. A (2;1/2)
(D) a pour coefficient directeur:
lim ((1/2)-(1/2))/h
h→0
lim 1/h((1/2+h)-(1/2))
h→0
Puis j'ai continuée et j'ai trouvée que c'était égal à -1/4.

2. (D) a pour équation: y=-1/4x+p et elle passe par A (2;1/2)
Donc: 1/2=2/4+p
1/2=-1/2+p
1=p
Conclusion: L'équation de la droite (D) tangente à H en A est: y=-1/4x+1

3. La tangente en (D) à H a pour équation: y= -1/4x+1, elle coupe l'axe des ordonnées en N (0;1) et l'axe des abscisses en M tels que yM=0, 0= xM/4+2/2, xM=4. Donc M (4;0).

4.Puisque les 3 mesure sont égales cela veut dire que les points sont sur le même cercle de rayon √(5/4)

5. (d) a pour équation y= -1/4x+p et elle passe par A(a;a/2)
donc: a/2=-a/4+p
a/2+a/4=p
2a/4+a/4=p
3a/4=p
conclusion: l'équation esr y=1/4x+3a/4

la tangente en (D) à H a pour équation y=1/4x+3a/4,elle coupe l'axe des ordonnées en N(0;3a/4) et l'axe des abscisse M(3a;0)