boite de conserve mps

Sujet du devoir

Vous faites partie du laboratoire de recherche d’une entreprise de fabrication de boites de conserve

à destination de l’industrie agroalimentaire.

Afin de minimiser les coûts de fabrication, vos boites devront avoir la plus petite surface possible

pour un volume donné. On vous demande pour chaque boite de déterminer son rayon et sa hauteur.

I. Déterminer la surface totale d’une boite (corps + 2 couvercles) de rayon r et de hauteur h

II. Déterminer le volume V d’une boite en fonction de r et de h

III. Exprimer h en fonction de r et de V

IV. Remplacer h par sa valeur trouvée au III. dans la formule du I. et simplifier

V. On appelle x le rayon de la boite A , démontrer que sa surface peut s’exprimer en

fonction de x de la manière suivante :

Pour déterminer la valeur de x qui minimise la surface, on utilisera géogébra :

Utiliser la zone de saisie pour entrer la formule

et placer un point

correspondant au minimum de la fonction pour [ ] Lire l’abscisse xmin.

Recopier le graphe de la fonction sur votre feuille et indiquer le minimum de cette

fonction S(xmin ) ainsi que la valeur de xmin correspondante.

Connaissant V et r (r= xmin ), déterminer h grâce à la formule du III.

VI. Recommencer les calculs pour la boite B.

VII. Considérant que les couvercles sont découpés dans des feuilles de métal carrées,

reprendre l’étude avec la surface réelle de métal consommée.

VIII. Combien de boites différentes pouvez-vous construire si l’on vous donne comme

contrainte un volume, une forme de boite cylindrique et un minimum de métal à utiliser.

IX. Reprenez l’étude avec une casserole de 1200 cm3

Vous devez concevoir deux boites dont les contraintes sont les suivantes :

Boite A : contenance 850cm3

, forme cylindrique (appelée 4/4 dans l’industrie)

Boite B : contenance 425cm3

, forme cylindrique (appelée 1/2 dans l’industrie)