DM c'est une recherche de 1ere S

Combien y a t-il de jetons, sachant aussi que l'on peut les disposer exactement en piles de 11 jetons

Donc un multiple de 11

Qu'on dispose en piles de 10,  ou de 2 jetons, il en manque toujours 1 pour compléter la dernière pile.

Donc se termine par 9, nombre impair

2519

il  se terrmine donc bien par 9

Hello Nanou,

on a des piles allant de 2 à 10 jetons, sans oublier le jeton qui manque pour compléter une pile (il nous faut un jeton de plus pour arriver au nombre total de jetons),

donc quelque soit la taille de la pile, il nous manque toujours un jeton pour compléter le nombre N

Soit N le nombre totale de jetons, on peut dire:

N = 2.a -1 = 3.b - 1 = 4.c - 1 = 5.d - 1 = 6.e - 1 = 7.f - 1 = 8.g - 1 = 9.h - 1 = 10.i -1

avec a,b,c,d,e,f,g,h,i les nombres de piles suivant les cas :

• a: nombre de piles de 2 jetons,
• b: nombre de piles de 3 jetons,
• c : nombre de piles de 4 jetons
• ...
• ...
• h: nombre de piles de 9 jetons
• i : nombre de piles de 10 jetons

Si on ajoute le chiffre 1 aux égalités précédentes, on obtient un nombre M tel que : 

M = N + 1 = 2a = 3b = 4c = 5d = 6e = 7f = 8g = 9h = 10i

On voit donc que M est à la fois un multiple de 2, de 3, de 4, de 5, de 6, de 7, de 8, de 9 ET de 10

OR :

• etre multiple de 2 c'est etre multiple de 2
• etre multiple de 3 c'est etre multiple de 3
• etre multiple de 4 c'est etre multiple de 2x2 donc multiple de 2 au final
• etre multiple de 5 c'est etre multiple de 5
• etre multiple de 6 c'est etre multiple de 2 et 3, donc 2x3
• etre multiple de 7 c'est etre multiple de 7
• etre multiple de 8 c'est être multiple de 2 et 4, donc 2x4
• etre multiple de 9 c'est être multiple de 3x3
• etre multiple de 10 c'est être multiple de 2 et 5, donc 2x5

cela simplifie M en un multiple plus simple

Au final, il nous reste : M est multiple de 2x3x3x4x5x7

on a bien toutes les combinaisons de multiples : on retrouve le 2, le 3, le 4, le 5, le 2x3 pour le 6, le 7, le 2x4 pour le 8, le 3x3 pour le 9, et le 2x5 pour le 10

Tu les vois ?

Le calcul de M donne alors M = ... ?

Il faut ensuite soustraire 1, le fameux jeton qui nous embête pour compléter une pile (lol), pour obtenir N

On a alors N = .... ?

De même, on sait d'après l'énoncé qu'on peut disposer N en piles de 11 jetons, donc N = 11 . x

Il faudra donc vérifier que le N qu'on a trouvé soit divisible par 11. Si c'est le cas, vérifier aussi que N est inférieur à 3000 d'après ton énoncé.

Bonjour,

« … les disposer exactement en piles de 11 jetons » n’est pas le point le plus important pour trouver la solution ; c’est juste pour vérifier.

Disons que « n » est le nombre de jetons cherché
Il faut se concentrer sur le reste et sur tout sur le nombre n+1.
« n+1 » doit être un multiple de 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 et 2

Le plus simple est de se dire que n+1 = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*A = 628800*A
Mince ! 628800 est déjà plus grand que 3000 (la limite donnée dans l’énoncé)

Selon vous quels sont les nombres que l’on peut supprimer sans problème dans cette liste ?

Pensez que par exemple 50 est un multiple de 2, 5, 10 et 25

En supprimant quelques chiffres, vous allez trouver le nombre n+1.
Il faut lui soustraire 1 et vérifier si le résultat est un multiple de 11.

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