dm de mathematiques

Sujet du devoir

Exercice 1 Deux in´equations ´ Etudier, apr`es factorisation ou r´eduction au mˆeme d´enominateur, dans un tableau, le signe des expressions suivantes : a). f(x) = (7x − 1)(2x − 1) + (7x − 1)(1 − x) b). g(x) = x−2 x+1 − 1

Exercice 2 Une ´etude de fonction On consid`ere la fonction d´efinie sur R par f(x) = 9x2 + 12x − 5. 1. D´emontrer, en d´eveloppant, f(x) = (3x + 2)2 − 9. 2. D´emontrer que f(x) = (3x − 1)(3x + 5).
On dispose ainsi de trois formes diff´erentes pour f(x); pour r´epondre aux questions suivantes, on emploiera, `a bon escient, une de ces formes. 3. Reproduire et remplir `a l’aide de la calculatrice le tableau de valeurs suivant :
x −3 −2 −1 − 2 3 0 1 2
f(x)
4. Construire alors la courbe repr´esentative de f pour x ∈ [−3;2] dans un rep`ere muni des unit´es suivantes : 2cm en abscisse et 1cm pour 5 unit´es en ordonn´ee. 5. Construire le tableau de variations de la fonction f. 6. Utiliser la figure pour r´esoudre graphiquement les ´equations suivantes ( on indiquera sur le graphique les trac´es n´ecessaires `a la lecture ) : (a) f(x) = −5; (b) f(x) = 7; (c) f(x) = 40; (d) f(x) = −9; (e) f(x) = −12. 7. En utilisant l’expression la mieux adapt´ee pour f(x), r´esoudre les cinq ´equations pr´ec´edentes par un calcul. 8. Construire, en justifiant la r´eponse, le tableau de signe de la fonction f. 9. R´esoudre, grˆace au tableau de signes, l’in´equation f(x) < 0 et retrouvergraphiquement le r´esultat.

Exercice 3 Mettre en ´equation et r´esoudre Les deux questions sont ind´ependantes. 1. Trois cousins ont respectivement 32, 20 et 6 ans. Dans combien d’ann´ees l’aˆge de l’aˆın´e sera-t-il ´egal `a la somme des ˆages des deux autres? 2. En 1900, un p`ere avait 35 ans et son fils 7 ans. Le p`ere mourut en 1940 et le fils en 1970. En quelle(s) ann´ee(s) l’aˆge du p`ere a-t-il ´et´e le double de celui de son fils?

Exercice 4 `A propos d’in´equations Les deux questions sont ind´ependantes. On justifiera les r´eponses. 1. R´esoudre avec une factorisation l’in´equation 3x2 − 6x + 3 < 0. 2. R´esoudre l’in´equation 3+x 7+x 6 3 7.

Exercice 5 `A propos de fonctions affines Les trois questions sont ind´ependantes. On justifiera les r´eponses. 1. D´eterminer la fonction affine f telle que f(100) − f(60) = 120. 2. D´eterminer une fonction affine dont le coefficient directeur est ´egal `a la valeur `a l’origine et dont la repr´esentation graphique passe par le point A(1;1). 3. D´eterminer la fonction affine f telle que f(f(x)) = x 4 + 3 4.