Exercice de mathématiques

Publié le 21 févr. 2020 il y a 4A par tala.m - Fin › 24 févr. 2020 dans 4A
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Sujet du devoir

On considère un rectangle ABCD inscrit dans un cercle de rayon 1. On note S l’aire de ABCD et P son périmètre. L’exercice vise à exprimer P et S suivant deux variables différentes : x=AB et α=BAC. 

Généralités sur les fonctions


1. En utilisant la variable x : 
a. À quel intervalle I appartient x ? 

 
f(x)


b. Montrer que, pour tout xI,BC=4−x2. 

 
f(x)


c. En déduire que, pour tout xI,P(x)=2x+24−x2. 

 
f(x)


2. En utilisant la variable α : 
a. À quel intervalle J appartient α ? 

 
f(x)


b. En utilisant les formules de trigonométrie, montrer que, pour tout αJ,AB=2cos(α)et BC=2sin(α). 

 
f(x)


c. En déduire que, pour tout αJ,S(α)=4sin(α)cos(α). 

 
f(x)


3. On suppose que ABCD est un carré. 
a. Préciser la valeur de α. 

 
f(x)


b. En déduire la valeur de S à l’aide de la calculatrice. 

 
f(x)


c. À l’aide de la valeur de S obtenue, montrer que le côté x de ABCD vaut 2 et en déduire alors la valeur exacte de P. 




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