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Sujet du devoir
On considère un rectangle ABCD inscrit dans un cercle de rayon 1. On note S l’aire de ABCD et P son périmètre. L’exercice vise à exprimer P et S suivant deux variables différentes : x=AB et α=BAC.
1. En utilisant la variable x :
a. À quel intervalle I appartient x ?
b. Montrer que, pour tout x∈I,BC=4−x2.
c. En déduire que, pour tout x∈I,P(x)=2x+24−x2.
2. En utilisant la variable α :
a. À quel intervalle J appartient α ?
b. En utilisant les formules de trigonométrie, montrer que, pour tout α∈J,AB=2cos(α)et BC=2sin(α).
c. En déduire que, pour tout α∈J,S(α)=4sin(α)cos(α).
3. On suppose que ABCD est un carré.
a. Préciser la valeur de α.
b. En déduire la valeur de S à l’aide de la calculatrice.
c. À l’aide de la valeur de S obtenue, montrer que le côté x de ABCD vaut 2 et en déduire alors la valeur exacte de P.
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