fonction et géométrie

Sujet du devoir

Soit ABCD un rectangle d’aire 16 cm2
, de longueur AB et de largeur AC. On cherche à déterminer
AB et AC telles que le périmètre du rectangle ABCD soit le plus petit possible. Soient x et y les
mesures en centimètres de la longueur et de la largeur du rectangle, on a AB = x cm et AD = y cm.
1. Écrire une relation liant l’aire AABCD du rectangle ABCD aux nombres x et y.
2. Écrire une relation liant le périmètre PABCD du rectangle ABCD aux nombres x et y.
3. On sait que x 6= 0. Justifier ce fait puis montrer que y = 16/x.
4. Écrire une relation liant le périmètre PABCD du rectangle ABCD au nombre x seulement.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f(x) = 2x +
32
x
.
5. Calculer f(1), f(2), f(4), f(10) et f(20) et les présenter dans un tableau de valeurs.
6. Tracer un repère (O , I , J) d’un plan (non orthonormé) vérifiant (OI) ⊥ (OJ), OI = 1 cm et
OJ = 0,25 cm (c’est-à-dire 10OJ = 2,5 cm). Indication : on pourra graduer l’axe des abscisses
à l’unité en partant de 0 et en allant jusqu’à 20 et l’axe des ordonnées à la dizaine, c’est-à-dire
de 10 en 10, en partant de 0 et en allant jusqu’à 50. Il est conseillé d’utiliser une feuille à petits
carreaux en « format paysage ».
7. Placer les points de coordonnées (1 ; f(1)), (2 ; f(2)), (4 ; f(4)), (10 ; f(10)) et (20 ; f(20)) dans le
repère (O , I , J).
8. Tracer la représentation graphique Cf de la fonction f sur la calculatrice. Puis :
a. Régler la « V-Window » avec les paramètres xmin = 1, xmax = 20, ymin = 0 et ymax = 50.
b. Reproduire la représentation graphique Cf affichée à l’écran à main levée dans le repère
(O , I , J).
c. Régler la « V-Window » avec les paramètres xmin = 2, xmax = 10, ymin = 10 et ymax = 25.
d. Tracer dans le repère (O , I , J) le rectangle MNP Q où :
M(xmin; ymin), N(xmax; ymin), P(xmax; ymax) et Q(xmin; ymax).
9. Conjecturer le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 10].
10. Déterminer le minimum de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 10] et donner l’antécédent pour lequel
ce minimum est atteint.
On admettra que ce minimum est aussi celui de la fonction f sur son ensemble de définition.
11. Montrer que PABCD = f(x) cm.
12. Quel est le plus petit périmètre PABCD possible ? Donner la valeur de x pour laquelle ce plus
petit périmètre est atteint.
13. Tracer le rectangle ABCD. Indication : pas dans le repère (O , I , J).
14. Que remarque-t-on ? Cette propriété n’est pas seulement valable pour un rectangle d’aire égale à16 cm2
, elle l’est aussi pour n’importe quelle aire non nulle envisagée pour le rectangle ABCD

Où j'en suis dans mon devoir

bonjour 

je suis bloquée à la question 9

merci par avance