Fonctions carrés, inverses, homographiques et polynômes du second degré

Sujet du devoir

Exercice 1 :
Dresser le tableau de variation de chacune des fonctions suivantes:
f:x -> (x+1)²-3
g:x -> -(x-2)²-3
h:x -> -1/2(x+3)²+2
k:x -> 2(x-1)²+1
Exercice 2 :
Dans chacun des cas suivants, trouver parmi les expressions A, B ou C celle qui est égale à la fonction proposée:
f(x)=x²-2x+7
A=(x-1)²+6
B=(x+1)²-8
C=((x-1)²+8
g(x)=x²+x+1
A=(x+1)²+x
B=(x+1/2)²
C=(x+1/2)²+3/4
h(x)=2x²-12x+4
A=2(x-3)²
B=2(x-3)²-14
C=2(x-6)²-32
Exercice 3 :
Une fonction polynôme du second degré f vérifie f(-2)=f(4)=0 et admet un maximum la valeur 3.
1. Déterminer l'expression de f(x)
2. Donner le tableau de variation de la fonction f.
Exercice 4 :
Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions homographiques suivantes:
a. f:x -> (x+5)/(x-1)
b. g:x -> (3x-1)/(2x+6)
c. h:x -> (5x-3)/x
Exercice 5 :
On utilise la calculatrice.
1. Justifier que, pour tout x<0, on a 1/x
2. Conjecturer, à l'aide de la calculatrice, la comparaison de x² et 1/x lorsque x est un réel strictement positif.
3. Démonstration utilisant les variations
On note f:x -> x² et g:x -> 1/x
a) Recopier et compléter:
La fonction f est ... sur l'intervalle ]0;1] donc, pour tout x appartenant à]0;1] f(x)...f(1)
La fonction g est ... sur l'intervalle ]0;1] donc, pour tout x appartenant à]0;1] g(x)...g(1)
Or f(1)...g(1) donc, pour tout x appartenant à]0;1], on a x²...1/x.
b) Reprendre ce raisonnement lorsque x appartient à [1;+inf[.
4. Démonstration algébrique
a) Montrer que, pour tout x différent de 0, on a:
x²-(1/x)=[(x/1)(x²+x+1)]/x
b) Justifier alors que, pour x>0, x²-(1/x) a le même signe que (x-1).
c) Donner le tableau de signes de (x-1) et conclure.

Où j'en suis dans mon devoir

Exercice 1 :

f:x -> f est un polynôme du second degré et sa forme canonique est a(x-α)²+β avec α=-1 et β=-3 a>0 donc la parabole tourne sa concavité vers le haut et son sommet est S(-1;-3)

g:x -> g est un polynôme du second degré et sa forme canonique est a(x-α)²+β avec α=2 et β=-3 a<0 donc la parabole tourne sa concavité vers le bas et son sommet est S(2;-3)
h:x -> est un polynôme du second degré et sa forme canonique est a(x-α)²+β avec α=-3 et β=2 a>0 donc la parabole tourne sa concavité vers le bas et son sommet est S(-3;2)
k:x -> est un polynôme du second degré et sa forme canonique est a(x-α)²+β avec x=1; α=1 et β=1 a>0 donc la parabole tourne sa concavité vers le haut et son sommet est S(1;1)
Exercice 2 :
f(x)=A
g(x)=C
h(x)=B
Exercice 3 :
Je n'y arrive pas.
Exercice 4 :
a. L'ensemble de définition de f est R privé de 1
b. L'ensemble de définition de g est R privé de -3
c. L'ensemble de définition de h est R* ( c'est-à-dire R privé de 0)
Exercice 5 :
On utilise la calculatrice.
Je ne comprend pas du tout cet exercice
3. La fonction f est CROISSANTE sur l'intervalle ]0;1] donc, pour tout x appartenant à]0;1] f(x)< f(1)
La fonction g est DECROISSANTE sur l'intervalle ]0;1] donc, pour tout x appartenant à]0;1] g(x)>g(1)
Or f(1)< g(1) donc, pour tout x appartenant à]0;1], on a x²<1/x.
b)La fonction f est CROISSANTE sur l'intervalle ]0;+inf] donc, pour tout x appartenant à]0;+inf] f(x)>f(1)
La fonction g est DECROISSANTE sur l'intervalle ]0;+inf] donc, pour tout x appartenant à]0;1] g(x) Or f(1)= g(1) donc, pour tout x appartenant à]0;+inf], on a x²>1/x.