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Sujet du devoir

4ème 2019-2020 DNS n°8 En Inde, une vieille légende raconte comment un Brahmane, membre d’une caste religieuse fut récompensé pour avoir inventé le jeu d’échec. Le roi fut tant émerveillé lorsque le Brahmane lui apprit le jeu qu’il lui proposa de choisir la récompense qu’il souhaitait. Le Brahmane demanda alors la quantité de grains de blé qu’il serait nécessaire pour remplir les 64 cases d’un échiquier en respectant la condition suivante : chaque case doit contenir deux fois plus de grains de blé que la précédente sachant que la première case ne contient qu’un seul grain. Soit : • 1 grain de blé sur la première case • 2 grains sur la seconde • 4 grains sur la troisième (soit 2 x 2) • 8 grains sur la quatrième (soit 2 x 2 x2) etc…. Le roi accepta la demande en se disant que celle-ci était plutôt modeste. Mais lorsqu’un arithméticien résolut le problème, le roi se rendit compte que le Brahmane l’avait dupé et que la quantité de grains de blé qu’il demandait était impossible à fournir. 1- Sur quelle case devrait-il y avoir 23 grains ? 28 grains ? 231 grains ? 2- Quelle quantité de grains est-il nécessaire pour remplir tout l’échiquier ? Donner le résultat comme somme de puissances de 2. On pourra utiliser des « …. » pour ne pas écrire tous les termes. 3- Vérifier que les égalités suivantes sont vraies : 1 + 2 = 2! − 1 1 + 2 + 2! = 2" − 1 1 + 2 + 2! + 2" = 2# − 1 4- On constate alors que cette formule est vraie pour tout entier n : 1 + 2 + 2! + 2" + ⋯ + 2$%& = 2$ − 1 Appliquer la pour écrire le plus simplement possible le résultat de la question 2. 5- En utilisant la calculatrice, en déduire une valeur approchée du nombre de grains pour tout l’échiquier. Donner le résultat en écriture scientifique. Prouver que la quantité exacte de grains de blé est : 18 446 744 073 709 551 615 ; expliquer votre démarche 6- Dans 1m3 , on peut ranger 1,5 million de grains de blé. Le roi dispose d’un grand grenier de 5 m de large sur 10 m de long. Quelle hauteur faut-il prévoir si l’on désire stocker la quantité de grains de blé que recevra le Brahmane ? Exprimer le résultat en écriture scientifique. Comparer avec la distance terre-lune. 7- Sachant que 100 grains de blé pèsent 10g, combien pèse un grain de blé ? (Donner le résultat en écriture scientifique) 8- Calculer la masse de tous les grains de blé en grammes sachant que la valeur approchée de 264-1 est 1,18447 x 1019. (Donner le résultat en écriture scientifique) 9- Sachant qu’un quintal = 100Kg, convertir le poids total en quintal. (Donner le résultat en écriture scientifique) Mais l’histoire finit mal. L’arithméticien du roi conseille d’enfermer le Brahmane dans son propre piège en lui demandant de compter lui-même les grains de blé. 10- Sachant qu’il faudra 6 mois pour compter 1 m3 , combien d’années lui faudrait-il pour dénombrer l’ensemble de sa récompense ? (Donner le résultat en écriture scientifique)